[发明专利]一种快速计算轧件断面温度的有限元和有限差分耦合方法

权利要求书

1.一种快速计算轧件断面温度的有限元和有限差分耦合方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：对坯料横断面进行有限差分网格划分，建立有限差分分析模型；

步骤2：采用有限差分分析模型计算轧件从出炉、除鳞、及第一道次轧制前的断面温度；

步骤3：对第一道次轧制前的轧件进行有限元网格划分，建立三维有限元模型并进行计算，获得第一道次轧制前后轧件的有限元单元及节点数据；

步骤4：建立有限元和有限差分耦合模型，其具体实现包括以下子步骤：

步骤4.1：将第一道次轧制前轧件有限差分网格温度映射到第一道次轧制前轧件有限元网格上；

步骤4.2：将第一道次轧制前轧件有限元节点温度传递到第一道次轧制后轧件的有限元节点上，并将塑性变形热导致的轧件温度升高△T加到第一道次轧制后轧件的所有有限元节点上；

步骤4.3：对预先采用有限元方法计算好的第一道次轧制后的轧件断面进行有限差分网格划分，将第一道次轧制后轧件的有限元节点温度映射到第一道次轧制后轧件的有限差分网格上；

步骤5：采用第一道次轧制后轧件的有限差分网格进行轧制间隙的温度计算；

步骤6：以后各个道次轧制过程都采用步骤1对轧件横断面进行有限差分网格划分和步骤4的耦合模型进行计算，轧制间隙及水雾冷却的温度采用步骤5对轧件横断面进行有限差分温度计算，最终获得轧件各个时刻的断面温度。

2.根据权利要求1所述的快速计算轧件断面温度的有限元和有限差分耦合方法，其特征在于：步骤1中所述的对坯料横断面进行有限差分网格划分，建立有限差分分析模型；其具体实现包括以下子步骤：

步骤1.1：在坯料横断面高度和宽度方向上采用均匀网格，网格大小根据轧件断面的复杂程度来调节；有限差分网格范围为矩形区域，整个有限差分网格覆盖整个坯料横断面，为了便于判断边界点，有限差分网格比坯料横断面大两个节点宽度和高度；

步骤1.2：构建内部节点的二维有限差分方程；

对于二维常物性控制方程：

$\mathrm{\ρ}c\frac{\∂T}{\∂\mathrm{\τ}}=\mathrm{\λ}(\frac{{\∂}^{2}T}{\∂x^2}+\frac{{\∂}^{2}T}{\∂y^2})---\left(1\right);$

将式(1)中对时间的一阶微商用一阶向前差商代替，对坐标的二阶微商用二阶中心差商代替获得内部节点的显式差分方程为：

$T_{m,n}^{k+1}=\frac{a\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}{{\left(\mathrm{\Δ}x\right)}^2}(T_{m+1,n}^k-2T_{m,n}^k+T_{m-1,n}^k)+\frac{a\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}{{\left(\mathrm{\Δ}y\right)}^2}(T_{m,n+1}^k-2T_{m,n}^k+T_{m,n-1}^k)+T_{m,n}^k---\left(2\right);$

这里，△τ为时间步长，如果是均匀离散Δx＝Δy，则有：

$T_{m,n}^{k+1}=Fo(T_{m+1,n}^k+T_{m-1,n}^k+T_{m,n+1}^k+T_{m,n-1}^k)+(1-4Fo)T_{m,n}^k---\left(3\right);$

$Fo=\frac{a\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}{{\left(\mathrm{\Δ}x\right)}^2}=\frac{\mathrm{\λ}}{\mathrm{\ρ}c}\frac{\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}{{\left(\mathrm{\Δ}x\right)}^2}---\left(4\right);$

每个时间层k+1的节点(i，j)温度都表达成了上一时间层k的以该节点(i，j)为中心的5个节点温度的显函数，稳定性条件是：Fo≤1/4；

步骤1.3：构建边界节点的二维有限差分方程；

根据边界节点所处的位置不同，边界节点的二维有限差分方程分为12种；具体如下：

(1)平直边界的右边界：

当边界节点位于右平直边界时，对边界采用热平衡法导出二维有限差分边界节点T_m,n热平衡方程为：

$\mathrm{\λ}\mathrm{\Δ}y\frac{T_{m,n-1}^{\left(k\right)}-T_{m,n}^{\left(k\right)}}{\mathrm{\Δ}x}+\mathrm{\λ}\frac{\mathrm{\Δ}x}{2}\frac{T_{m+1,n}^{\left(k\right)}-T_{m,n}^{\left(k\right)}}{\mathrm{\Δ}y}+\mathrm{\λ}\frac{\mathrm{\Δ}x}{2}\frac{T_{m-1,n}^{\left(k\right)}-T_{m,n}^{\left(k\right)}}{\mathrm{\Δ}y}-h\left(T_{m,n}^{\left(k\right)}-T_{fluid}\right)\mathrm{\Δ}y-{\mathrm{\ϵc}}_0\[{\left(T_{m,n}^{\left(k\right)}\right)}^4-{\left(T_e\right)}^4\]\mathrm{\Δ}y=\mathrm{\ρ}c\frac{\mathrm{\Δ}x}{2}\mathrm{\Δ}y\frac{T_{m,n}^{\left(k+1\right)}-T_{m,n}^{\left(k\right)}}{\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}---\left(5\right);$

取△x＝△y得

$T_{m,n}^{k+1}=F_0\left(2T_{m,.n-1}^k+T_{m+1,n}^k+T_{m-1,n}^k\right)+T_{m,n}^k\left(1-4F_0\right)-\frac{2h\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}{\mathrm{\ρ}c\mathrm{\Δ}x}\left(T_{m,n}^k-T_{fluid}\right)-\frac{2{\mathrm{\ϵc}}_0\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}{\mathrm{\ρ}c\mathrm{\Δ}x}\left(T_{m,n}^4-T_e^4\right)---\left(6\right);$

(2)平直边界的左边界：

$T_{m,n}^{k+1}=F_0(2T_{m,.n+1}^k+T_{m+1,n}^k+T_{m-1,n}^k)+T_{m,n}^k(1-4F_0)-\frac{2h\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}{\mathrm{\ρ}c\mathrm{\Δ}x}(T_{m,n}^k-T_{fluid})-\frac{2{\mathrm{\ϵc}}_0\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}{\mathrm{\ρ}c\mathrm{\Δ}x}(T_{m,n}^4-T_e^4)---\left(7\right);$

(3)平直边界的上边界：

$T_{m,n}^{k+1}=F_0(2T_{m-1,n}^k+T_{m,n-1}^k+T_{m,n+1}^k)+T_{m,n}^k(1-4F_0)-\frac{2h\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}{\mathrm{\ρ}c\mathrm{\Δ}x}(T_{m,n}^k-T_{fluid})-\frac{2{\mathrm{\ϵc}}_0\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}{\mathrm{\ρ}c\mathrm{\Δ}x}(T_{m,n}^4-T_e^4)---\left(8\right);$(4)平直边界的下边界：

$T_{m,n}^{k+1}=F_0\left(2T_{m+1,n}^k+T_{m,n-1}^k+T_{m,n+1}^k\right)+T_{m,n}^k\left(1-4F_0\right)-\frac{2h\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}{\mathrm{\ρ}c\mathrm{\Δ}x}\left(T_{m,n}^k-T_{fluid}\right)-\frac{2{\mathrm{\ϵc}}_0\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}{\mathrm{\ρ}c\mathrm{\Δ}x}\left(T_{m,n}^4-T_e^4\right)---\left(9\right);$

(5)凸角边界的右上凸角：

$T_{m,n}^{(k+1)}=\frac{F_0}{2}(T_{m,n-1}^{\left(k\right)}+T_{m-1,n}^{\left(k\right)})+T_{m,n}^{\left(k\right)}(1-F_0)-\frac{h\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}{\mathrm{\ρ}c\mathrm{\Δ}x}(T_{m,n}^{\left(k\right)}-T_{fluid})-\frac{{\mathrm{\ϵc}}_0\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}{\mathrm{\ρ}c\mathrm{\Δ}x}\[{\left(T_{m,n}^{\left(k\right)}\right)}^4-{\left(T_e\right)}^4\]---\left(10\right);$

(6)凸角边界的右下凸角：

$T_{m,n}^{\left(k+1\right)}=\frac{F_0}{2}\left(T_{m,n-1}^{\left(k\right)}+T_{m+1,n}^{\left(k\right)}\right)+T_{m,n}^{\left(k\right)}\left(1-F_0\right)-\frac{h\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}{\mathrm{\ρ}c\mathrm{\Δ}x}\left(T_{m,n}^{\left(k\right)}-T_{fluid}\right)-\frac{{\mathrm{\ϵc}}_0\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}{\mathrm{\ρ}c\mathrm{\Δ}x}\[{\left(T_{m,n}^{\left(k\right)}\right)}^4-{\left(T_e\right)}^4\]---\left(11\right);$

(7)凸角边界的左上凸角：

$T_{m,n}^{\left(k+1\right)}=\frac{F_0}{2}\left(T_{m,n+1}^{\left(k\right)}+T_{m-1,n}^{\left(k\right)}\right)+T_{m,n}^{\left(k\right)}\left(1-F_0\right)-\frac{h\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}{\mathrm{\ρ}c\mathrm{\Δ}x}\left(T_{m,n}^{\left(k\right)}-T_{fluid}\right)-\frac{{\mathrm{\ϵc}}_0\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}{\mathrm{\ρ}c\mathrm{\Δ}x}\[{\left(T_{m,n}^{\left(k\right)}\right)}^4-{\left(T_e\right)}^4\]---\left(12\right);$

(8)凸角边界的左下凸角：

$T_{m,n}^{(k+1)}=\frac{F_0}{2}(T_{m,n+1}^{\left(k\right)}+T_{m+1,n}^{\left(k\right)})+T_{m,n}^{\left(k\right)}(1-F_0)-\frac{h\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}{\mathrm{\ρ}c\mathrm{\Δ}x}(T_{m,n}^{\left(k\right)}-T_{fluid})-\frac{{\mathrm{\ϵc}}_0\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}{\mathrm{\ρ}c\mathrm{\Δ}x}\[{\left(T_{m,n}^{\left(k\right)}\right)}^4-{\left(T_e\right)}^4\]---\left(13\right);$

(9)凹角边界的右下角：

$T_{m,n}^{\left(k+1\right)}=\frac{4}{3}{F}_0\left(T_{m,n-1}^{\left(k\right)}+T_{m+1,n}^{\left(k\right)}+\frac{T_{m-1,n}^{\left(k\right)}}{2}+\frac{T_{m,n+1}^{\left(k\right)}}{2}\right)+T_{m,n}^{\left(k\right)}\left(1-4F_0\right)-\frac{4h\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}{3\mathrm{\ρ}c\mathrm{\Δ}x}\left(T_{m,n}^{\left(k\right)}-T_{fluid}\right)-\frac{4{\mathrm{\ϵc}}_0\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}{3\mathrm{\ρ}c\mathrm{\Δ}x}\[{\left(T_{m,n}^{\left(k\right)}\right)}^4-T_e^4\]---\left(14\right);$

(10)凹角边界的右上角：

$T_{m,n}^{(k+1)}=\frac{4}{3}{F}_0(T_{m,n-1}^{\left(k\right)}+T_{m-1,n}^{\left(k\right)}+\frac{T_{m+1,n}^{\left(k\right)}}{2}+\frac{T_{m,n+1}^{\left(k\right)}}{2})+T_{m,n}^{\left(k\right)}(1-4F_0)-\frac{4h\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}{3\mathrm{\ρ}c\mathrm{\Δ}x}(T_{m,n}^{\left(k\right)}-T_{fluid})-\frac{4{\mathrm{\ϵc}}_0\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}{3\mathrm{\ρ}c\mathrm{\Δ}x}\[{\left(T_{m,n}^{\left(k\right)}\right)}^4-T_e^4\]---\left(15\right);$

(11)凹角边界的左上角：

$T_{m,n}^{\left(k+1\right)}=\frac{4}{3}{F}_0\left(T_{m,n+1}^{\left(k\right)}+T_{m-1,n}^{\left(k\right)}+\frac{T_{m+1,n}^{\left(k\right)}}{2}+\frac{T_{m,n-1}^{\left(k\right)}}{2}\right)+T_{m,n}^{\left(k\right)}\left(1-4F_0\right)-\frac{4h\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}{3\mathrm{\ρ}c\mathrm{\Δ}x}\left(T_{m,n}^{\left(k\right)}-T_{fluid}\right)-\frac{4{\mathrm{\ϵc}}_0\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}{3\mathrm{\ρ}c\mathrm{\Δ}x}\[{\left(T_{m,n}^{\left(k\right)}\right)}^4-T_e^4\]---16);$

(12)凹角边界的左下角：

$T_{m,n}^{\left(k+1\right)}=\frac{4}{3}{F}_0\left(T_{m,n+1}^{\left(k\right)}+T_{m+1,n}^{\left(k\right)}+\frac{T_{m-1,n}^{\left(k\right)}}{2}+\frac{T_{m,n-1}^{\left(k\right)}}{2}\right)+T_{m,n}^{\left(k\right)}\left(1-4F_0\right)-\frac{4h\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}{3\mathrm{\ρ}c\mathrm{\Δ}x}\left(T_{m,n}^{\left(k\right)}-T_{fluid}\right)-\frac{4{\mathrm{\ϵc}}_0\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}{3\mathrm{\ρ}c\mathrm{\Δ}x}\[{\left(T_{m,n}^{\left(k\right)}\right)}^4-T_e^4\]---\left(17\right);$

其中，ρ为密度,单位为kg/m³；c为比热容，单位为J/(kg·℃)；λ为导热率，单位为W/(m·K)；T为温度，单位为K；x、y为横纵坐标，单位为m；Δx、Δy为有限差分网格x、y方向的步距，单位为m；τ为时间，单位为s；△τ为时间步长，单位为s；a为导温系数，单位为m²/s；为有限差分网格节点(m,n)在k+1时刻的温度，单位为K；Fo为傅里叶数；h为轧件与环境的换热系数，单位为W/(m²·K)；ε为黑度；c₀为黑体的辐射系数；T_e为辐射环境温度，单位为K；T_fluid对流环境温度或水温，单位为K。