[发明专利]基于ROOT‑MUSIC算法及秩损原理的二维测向方法

权利要求书

1.一种ROOT-MUSIC算法及秩损原理二维测向方法，其特征是，建立适用于圆信号与非圆信号共同入射的均匀矩阵阵列模型，而后在此基础上利用求根多重信号分集求根多重信号分集ROOT-MUSIC算法和秩损原理实现圆信号与非圆信号混合入射的二维波达方向估计以及两种信号的分辨问题。

2.如权利要求1所述的ROOT-MUSIC算法及秩损原理二维测向方法，其特征是，非圆信号与圆信号的二维波达方向估计具体步骤是，均匀矩阵阵列模型，由M×N个全向传感器元素组成，阵列的行间距d_x为λ/2，列间距d_y为λ/2，λ为入射信号的波长，假设有K个非相关远场窄带信号s_k(t),k＝1,…,K从方向(θ_k,β_k)入射到该阵列上，其中，θ为方位角，β为俯仰角，入射信号包括K_n个严格非圆信号s_n,k(t),k＝1,…,K_n和K_c个圆信号s_c,k(t),k＝1,…,K_c，K＝K_n+K_c，均匀矩阵阵列元素上的噪声都是均值为0，方差为σ²的加性高斯圆噪声；

在采样t时刻，该矩形阵列输出矢量x₁(t),x₂(t),…,x_N(t)表示为

$\begin{array}{c}{x}_1\left(t\right)={\mathrm{AB}}_1\tilde{s}\left(t\right)+n_{x_1}\left(t\right)---\left(3-1\right)\\ x_2\left(t\right)={\mathrm{AB}}_2\tilde{s}\left(t\right)+n_{x_2}\left(t\right)---\left(3-2\right)\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ x_N\left(t\right)={\mathrm{AB}}_N\tilde{s}\left(t\right)+n_{x_N}\left(t\right)---\left(3-3\right)\end{array}$

其中，x₁(t)＝[x₁₁(t),…,x_1M(t)]^T，x₂(t)＝[x₂₁(t),…,x_2M(t)]^T，…，x_N(t)＝[x_N1(t),…,x_NM(t)]^T，A表示阵列流型矩阵，其每列向量记为导向矢量a(θ_k)，a(θ_k)＝[a₀(θ_k),…,a_M-1(θ_k)]^T，其中其中表示加性高斯白噪声矢量，表示圆与非圆混合入射源信号矢量，该矢量表示为

$\tilde{s}\left(t\right)=\stackrel{\·}{B}s\left(t\right)---(3-4)$

式(3-4)中，

在式(3-5)中，s(t)为

$s\left(t\right)={\[{\stackrel{\‾}{s}}_{n,1}\left(t\right),...,{\stackrel{\‾}{s}}_{n,K_n}\left(t\right),s_{c,1}\left(t\right),...,s_{c,K_c}\left(t\right)\]}^T---(3-6)$

s_n,k(t)为严格非圆信号，因此有其中，为实值信号，为信号的非圆相位，下面将联合接收数据矢量x₁(t),x₂(t),…,x_N(t)组成一个新的数据矢量f(t)

$f\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_1\left(t\right)\\ x_2\left(t\right)\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ x_N\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}A\left(\mathrm{\θ}\right)B_1\left(\mathrm{\β}\right)\\ A\left(\mathrm{\θ}\right)B_2\left(\mathrm{\β}\right)\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ A\left(\mathrm{\θ}\right)B_N\left(\mathrm{\β}\right)\end{array}\right]\stackrel{\·}{B}s\left(t\right)+\left[\begin{array}{c}{n}_{x_1}\left(t\right)\\ n_{x_2}\left(t\right)\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ n_{x_N}\left(t\right)\end{array}\right]=C\left(\mathrm{\θ},\mathrm{\β}\right)\stackrel{\·}{B}s\left(t\right)+n\left(t\right)---\left(3-7\right)$

为了简化表示，省略角度对(θ,β)及时间t，

在式(3-7)中，C(θ,β)定义为扩展的导向矢量矩阵，且

C＝[C₁(θ_n,β_n)C₂(θ_c,β_c)] (3-8)

其中C₁(θ_n,β_n)为NM×K_n的矩阵，C₂(θ_c,β_c)为NM×K_c的矩阵，分别表示如下

$\begin{array}{c}{C}_1=\left[\begin{array}{ccc}\begin{array}{c}a\left({\mathrm{\θ}}_{n,1}\right)v_1\left({\mathrm{\β}}_{n,1}\right)\\ a\left({\mathrm{\θ}}_{n,1}\right)v_2\left({\mathrm{\β}}_{n,1}\right)\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ a\left({\mathrm{\θ}}_{n,1}\right)v_N\left({\mathrm{\β}}_{n,1}\right)\end{array}& ...& \begin{array}{c}a\left({\mathrm{\θ}}_{n,K_n}\right)v_1\left({\mathrm{\β}}_{n,K_n}\right)\\ a\left({\mathrm{\θ}}_{n,K_n}\right)v_2\left({\mathrm{\β}}_{n,K_n}\right)\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ a\left({\mathrm{\θ}}_{n,K_n}\right)v_N\left({\mathrm{\β}}_{n,K_n}\right)\end{array}\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{ccc}\begin{array}{c}{a}_{n,1}{v}_{1_{n,1}}\\ a_{n,1}{v}_{2_{n,1}}\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ a_{n,1}{v}_{N_{n,1}}\end{array}& ...& \begin{array}{c}{a}_{n,K_n}{v}_{1_{n,K_n}}\\ a_{n,K_n}{v}_{2_{n,K_n}}\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ a_{n,K_n}{v}_{N_{n,K_n}}\end{array}\end{array}\right]\end{array}---\left(3-9\right)$

$\begin{array}{c}{C}_2=\left[\begin{array}{ccc}\begin{array}{c}a\left({\mathrm{\θ}}_{c,1}\right)v_1\left({\mathrm{\β}}_{c,1}\right)\\ a\left({\mathrm{\θ}}_{c,1}\right)v_2\left({\mathrm{\β}}_{c,1}\right)\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ a\left({\mathrm{\θ}}_{c,1}\right)v_N\left({\mathrm{\β}}_{c,1}\right)\end{array}& ...& \begin{array}{c}a\left({\mathrm{\θ}}_{c,K_c}\right)v_1\left({\mathrm{\β}}_{c,K_c}\right)\\ a\left({\mathrm{\θ}}_{c,K_c}\right)v_2\left({\mathrm{\β}}_{c,K_c}\right)\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ a\left({\mathrm{\θ}}_{c,K_c}\right)v_N\left({\mathrm{\β}}_{c,K_c}\right)\end{array}\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{ccc}\begin{array}{c}{a}_{c,1}{v}_{1_{c,1}}\\ a_{c,1}{v}_{2_{c,1}}\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ a_{c,1}{v}_{N_{c,1}}\end{array}& ...& \begin{array}{c}{a}_{c,K_c}{v}_{1_{c,K_c}}\\ a_{c,K_c}{v}_{2_{c,K_c}}\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ a_{c,K_c}{v}_{N_{c,K_c}}\end{array}\end{array}\right]\end{array}---\left(3-10\right)$

接着，通过把矢量f以及其共轭形式f^*组合成一个新的数据矢量

其中为2NM×(K_n+2K_c)的矩阵，矢量为(K_n+2K_c)×1的矩阵

以及矢量为2NM×1的矩阵，

根据式(3-11)构造的计算其协方差矩阵为

其中为信号的协方差矩阵。由于入射信号之间是不相关的，因此是一个满秩矩阵；

而后，特征分解得

其中E_s为2NM×(K_n+2K_c)的矩阵，E_n为2NM×(2NM-K_n-2K_c)的矩阵，它们分别为信号子空间和噪声子空间，Σ_s为(K_n+2K_c)×(K_n+2K_c)的对角矩阵，Σ_n为(2NM-K_n-2K_c)×(2NM-K_n-2K_c)的对角矩阵，它们分别为信号子空间和噪声子空间对应的特征值矩阵，且的特征值满足λ₁≥λ₂≥...≥λ_K≥λ_K+1…＝λ_2NM＝σ²，

因为E_s与张成相同的信号子空间，且与E_n张成的噪声子空间正交，所以对于任意从角度(θ_n,k,β_n,k)入射的非圆信号有

(3-15)

进一步展开，如下形式：

由求根多重信号分集ROOT-MUSIC算法，定义多项式p_n(l)＝[1,l,...,l^M-1]^T，其中所以p_n(l)＝a_n,k，p_n(l^-1)＝a^*_n,k，于是，定义一个2NM×2N矩阵Ω_n(l)只和l有关，

因此，

以及

$p_n\left(l\right)=l^{M-1}{{\mathrm{\Ω}}_n}^H\left(l\right)E_n{E}_n^H{l}^{M-1}{\mathrm{\Ω}}_n\left(l\right)---(3-19)$

得到非圆信号关于l的估计器

$f_n\left(l\right)=\det \left(p_n\right(l\left)\right)=\det \left(\right(l^{M-1}{{\mathrm{\Ω}}_n}^H\left(l\right)E_n{E}_n^H{l}^{M-1}{\mathrm{\Ω}}_n\left(l\right)\left)\right)---\left(3-20\right)$

由式(3-16)可知，信号的非圆相位和俯仰角β都不在Ω_n(l)中，因此矩阵p_n(l)与非圆相位和俯仰角β无关，只与方位角θ有关，矩阵p_n(l)是2N×2N的矩阵，E_n为2NM×(2NM-K_n-2K_c)的矩阵，所以当(2NM-K_n-2K_c)≥2N，即K_n-2K_c≤2(NM-N)，且θ不等于信号真实方位角时，矩阵p_n(l)是满秩的，只有当θ等于信号真实方位角时矩阵p_n(l)秩损，即rank{p_n(l))}<2N，这时式(3-16)才成立，与此同时，f_n(l)＝det(p_n(l))＝0，所以通过p_n(l)是否秩损能够判断某一方位角是否为入射信号的真实方位角，即利用秩损原理得到信号的方位角；

基于以上分析，令f_n(l)＝0，取单位圆内具有最大幅值的K_n个非重根而后由其相位就能得到非圆信号波达方向关于方位角θ角的估计，即

${\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_m=\arccos \&lsqb;-\frac{\mathrm{\&lambda;}}{2{\mathrm{\&pi;d}}_x}\arg \left({\hat{l}}_m\right)\&rsqb;,m=1,...,K_n---\left(3-21\right)$

然后将估计的分别代入式(3-20)，并构造非圆信号关于俯仰角β的估计器

f′_n(b)＝det(p′_n(b))(3-22)

同样基于ROOT-MUSIC(求根多重信号分集算法)算法，定义则

$p_n^{\&prime;}\left(b\right)=b^{(N-1)}{\mathrm{\&Theta;}}^H\left(b\right){{\mathrm{\&Omega;}}_n}^H\left(l\right)E_n{E}_n^H{\mathrm{\&Omega;}}_n\left(l\right)b^{(N-1)}\mathrm{\&Theta;}\left(b\right)---(3-23)$

和

$\mathrm{\&Theta;}\left(b\right)=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ b& 0\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}& \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ b^{N-1}& 0\\ 0& 1\\ 0& b^{*}\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}& \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ 0& b^{*N-1}\end{array}\right]---(3-24)$

基于秩损原理，矩阵p′_n(b)只包含俯仰角β，且矩阵不是满秩矩阵，因此式(3-16)同样成立，且f′_n(b)＝det(p′_n(b))＝0，这样就能判断某一俯仰角是否为入射信号的真实俯仰角；

基于以上分析，令f′_n(b)＝0，取单位圆内具有最大幅值的非重根依次得而后由

其相位就能给出波达方向关于俯仰角β角的估计值，即

${\widehat{\mathrm{\&beta;}}}_m=\arccos \&lsqb;\frac{\mathrm{\&lambda;}}{2{\mathrm{\&pi;d}}_y}\arg \left({\hat{b}}_m\right)\&rsqb;,m=1,...,K_n---\left(3-25\right)$

以上是非圆信号二维波达方向的估计方法；

圆信号同样采用以上非圆信号的方法进行估计，具体步骤如下，首先，构建以下表达式

因为式(3-26)中，

因此，由式(3-26)知，非圆信号估计方位角θ角和俯仰角β角的方法对于圆信号同样适用，构建圆与非圆混合信号关于方位角θ的估计器：

$f\left(l\right)=\det \left(p\right(l\left)\right)=\det \left(\right(l^{M-1}{\mathrm{\&Omega;}}^H\left(l\right)E_n{E}_n^H{l}^{M-1}\mathrm{\&Omega;}\left(l\right)\left)\right)---(3-27)$

其中，Ω(l)只和l有关，为2NM×2N的矩阵，其表达式如下

其中，p(l)＝[1,l,...,l^M-1]^T，基于秩损原理，令f(l)＝0，取单位圆内具有最大幅值的K个非重根而后由其相位就能得到波达方向关于方位角θ角的估计，即

${\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{m1}=\arccos \&lsqb;-\frac{\mathrm{\&lambda;}}{2{\mathrm{\&pi;d}}_x}\arg \left({\hat{l}}_{m_1}\right)\&rsqb;,m_1=1,...,K---\left(3-29\right)$

然后构造圆与非圆信号关于俯仰角β的估计器

f′(b)＝det(p′(b)) (3-30)

在式(3-30)中，则

$p^{\&prime;}\left(b\right)=b^{(N-1)}{\mathrm{\&Theta;}}^H\left(b\right){\mathrm{\&Omega;}}^H\left(l\right)E_n{E}_n^H\mathrm{\&Omega;}\left(l\right)b^{(N-1)}\mathrm{\&Theta;}\left(b\right)---(3-31)$

和

$\mathrm{\&Theta;}\left(b\right)=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ b& 0\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}& \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ b^{N-1}& 0\\ 0& 1\\ 0& b^{*}\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}& \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ 0& b^{*N-1}\end{array}\right]---(3-32)$

将估计的分别代入式(3-31)，并令f′(b)＝0，取单位圆内具有最大幅值的非重根依次得而后由其相位得到波达方向关于俯仰角β角的估计值，即

${\widehat{\mathrm{\&beta;}}}_{m1}=\arccos \&lsqb;\frac{\mathrm{\&lambda;}}{2{\mathrm{\&pi;d}}_y}\arg \left({\hat{b}}_{m_1}\right)\&rsqb;,m_1=1,...,K---\left(3-33\right)$

这样，根据式(3-27)和式(3-30)以及式(3-29)和式(3-33)就能求出圆与非圆混合入射信号的方位角和俯仰角的估计值。

3.如权利要求2所述的ROOT-MUSIC算法及秩损原理二维测向方法，其特征是，圆与非圆混合入射信号的二维波达方向的分辨步骤具体是，首先进行仅适用于圆信号的二维波达方向估计：

因为E_n与之间具有正交性，故有

通过将E_n分割为两个均为NM×(2NM-K_n-2K_c)的矩阵E_n1和E_n2，即

那么

因此，基于式(3-35)来估计圆信号的二维角度(θ_c,k,β_c,k)，因为

根据求根多重信号分集ROOT-MUSIC算法，定义多项式p_c(l)＝[1,l,...,l^M-1]^T，其中所以p_c(l)＝a_c,k，p_c(l^-1)＝a^*_c,k，于是，定义一个NM×N矩阵Λ(l)，该矩阵只和l有关，

并定义于是，得到圆信号关于方位角θ的估计器为

f_c(l)＝det(p_c(l)) (3-39)

由式(3-35)可知，圆信号的俯仰角β不在p_c(l)中，因此矩阵p_c(l)与俯仰角β无关，只与方位角θ有关，矩阵p_c(l)是N×N的矩阵，E_n1为NM×(2NM-K_n-2K_c)的矩阵，所以当(2NM-K_n-2K_c)≥N即K_n-2K_c≤2NM-N，且方位角θ不等于信号真实方位角时，矩阵p_c(l)是满秩的，只有当方位角θ等于圆信号真实方位角时矩阵p_c(l)秩损，即rank{p_c(l))}<N，这时式(3-35)才成立，与此同时，f_c(l)＝det(p_c(l))＝0，所以通过判断p_c(l)是否秩损能够判断某一方位角是否为入射圆信号的真实方位角，即利用秩损原理得到圆信号的方位角，基于以上分析，令f_c(l)＝0，取单位圆内具有最大幅值的K_c个非重根而后由其相位得到圆信号波达方向关于方位角θ角的估计，

即

而后构造圆信号关于俯仰角β的估计器

f′_c(b)＝det(p′_c(b)) (3-41)

$p_c^{\&prime;}\left(b\right)={\left[\begin{array}{c}{p}_c\left(l\right)\\ p_c\left(l\right)b\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ p_c\left(l\right)b^{N-1}\end{array}\right]}^H{E}_{n1}{E}_{n1}^H\left[\begin{array}{c}{p}_c\left(l\right)\\ p_c\left(l\right)b\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ p_c\left(l\right)b^{N-1}\end{array}\right]---(3-42)$

同样，基于求根多重信号分集ROOT-MUSIC算法，式(3-42)中，则且把估计的代入式(3-42)，基于秩损原理，矩阵p′_c(b)只包含俯仰角β，且矩阵不是满秩矩阵，因此式(3-35)同样成立，且f′_c(b)＝det(p′_c(b))＝0，这样就能判断某一俯仰角是否为入射信号的真实俯仰角，基于以上分析，令f′_c(b)＝0，取单位圆内具有最大幅值的非重根而后依次得由估计值的相位就能得到波达方向关于俯仰角β角的估计值，即

${\widehat{\mathrm{\&beta;}}}_{m_2}=\arccos \&lsqb;\frac{\mathrm{\&lambda;}}{2{\mathrm{\&pi;d}}_y}\arg \left({\hat{b}}_{m_2}\right)\&rsqb;,m_2=1,...,K_c---\left(3-43\right)$

由式(3-39)和式(3-41)以及式(3-40)和式(3-43)就能求出圆信号的方位角和俯仰角的估计值；于是，基于圆与非圆混合入射信号以及圆信号关于方位角和俯仰角的两种估计方法，由式(3-27)和式(3-30)以及式(3-29)和式(3-33)能求得圆与非圆混合信号的二维波达估计方向，以及由式(3-39)和式(3-41)以及式(3-40)和式(3-43)求得圆信号二维波达估计方向，比较两组结果，就能分别得到圆信号与非圆信号的二维波达方向。