[发明专利]一种高效的全离散最优传输方法

说明书

本发明公开了一种高效的全离散最优传输方法，首先将源区域和概率测度离散化表示，输入目标离散点，给每个目标离散点赋予一个狄拉克测度；初始化截距向量，将源区域离散点的坐标和截距向量的系数用矩阵存储，将目标离散点的坐标及截距向量用矩阵存储；每次迭代过程中，通过矩阵相乘、根据行最大值将离散点分类的方法构造近似离散加权维诺图；求全离散最优传输的能量函数及其梯度；更新截距向量；循环直到传输映射的凸能量达到极小值，得到最终的全离散最优传输的解。本发明简单高效，易于实现，可通过多线程或CUDA等并行计算技术进一步加速提高计算效率，可用于求解大规模最优传输问题。本发明与源区域的维度无关，适用于求解任意维度的最优传输问题。

技术领域

本发明属于计算机图形图像处理技术领域，涉及一种高效的全离散最优传输新方法。

背景技术

法国数学家Monge最早提出了著名的最优传输问题，即设计一个将某质量分布(X,μ)运输到另一质量分布(Y,ν)的最佳方案，满足质量相等∫Xμ(x)dx＝∫Yν(y)dy，同时使得运输代价最小。其中X,Y是两个有界区域，μ,ν表示密度函数。1948年，俄罗斯数学家Kantorovich运用线性规划思想成功求解最优传输问题，并证明了其解的存在性和唯一性，由此获得了1975年的诺贝尔经济奖。如今，Monge-Kantorovich理论已取得大量的研究成果，极大地推动了数学、经济学、医学、人工智能、计算机科学、医学等学科的发展。对于纯粹数学，最优传输理论可用于求解曲面等距嵌入问题等凸几何问题，如Alexandrov问题、Minkowski问题；对于计算机数学，最优传输算法可用于求解非线性的椭圆型偏微分方程，如蒙日-安培方程；对于经济学，最优传输可以应用于生产消耗运输、资源配置与调度等；对于人工智能，Wasserstein距离给出了衡量两概率测度分布距离的方法，在WGAN模型等深度学习领域发挥了显著作用；此外，最优传输理论在计算机视觉、三维模型参数化、曲面注册、医学成像等领域发挥着重大作用，取得很好的效果。

对Monge-Kantorovich的研究主要分为三类：第一类是全离散最优传输，即源质量分布(X,μ)和目标质量分布(Y,ν)都是离散的；第二类是半离散最优传输，即源质量分布(X,μ)是连续的，而目标质量分布(Y,ν)是离散的；第三类是连续最优传输，即源质量分布(X,μ)和目标质量分布(Y,ν)都是连续的。

最优传输问题的求解方法，归纳起来主要有三种：线性规划方法、熵正则化距离近似方法以及基于计算几何的凸优化法。Kantorovich最早采用线性规划思想求解最优传输问题。线性规划的思想是将空间区域X和Y表示成离散点集，将概率测度μ,ν离散成狄拉克测度，进而将最优传输问题转换成线性规划问题来求解。最优传输问题的等效解决方案是Earth Mover’s Distance，简称EMD，也称Wasserstein距离，用于测量两概率测度分布之间的距离。以测地距离为基础内核，并用热核来进行近似，其迭代数值解方案具有线性收敛性，每次迭代只需要求解高斯卷积。与线性规划法相比，该方法极大地提高了计算性能。但由于采用了近似方法简化问题，其解并不是真正意义上的最优传输。法国数学家与1991年Brenier证明，当传输代价为L2距离且传输区域为凸区域时，某个凸函数的梯度即为最优传输映射，由此建立了最优传输与凸几何的联系。近年来，顾险峰对Brenier理论进行离散化，基于变分法通过动态构造加权维诺图(power diagram)以及采用凸优化来求解最优传输问题。