[发明专利]基于Ricci流和满足雅可比条件的除子计算曲面亚纯m次微分的方法

说明书

本发明公开了基于Ricci流和满足雅可比条件的除子计算曲面亚纯m次微分的方法，首先根据给定除子设置曲面的目标曲率，接着通过牛顿法优化Ricci能量得到平坦黎曼度量，最后基于度量浸入曲面的基本域于平面得到亚纯微分。本发明的方法适用于任意拓扑、几何曲面的亚纯微分计算。

技术领域

本发明涉及多个交叉领域，包括计算数学、计算流体力学、计算机辅助设计以及计算机辅助工程领域，具体涉及基于Ricci流和满足雅可比条件的除子计算曲面亚纯m次微分的方法。

背景技术

亚纯微分给出了曲面上全局无缝的共形参数化，其诱导的映射是处处保角的并且全局满足和乐(holonomy)条件。曲面的无缝参数化和共形映射在计算数学、计算机图形学、计算机辅助设计和工程领域都得到广泛应用，而曲面亚纯微分的计算是研究核心和难点。

发明内容

针对现有技术的不足，本发明旨在提供一种基于Ricci流和满足雅可比条件的除子计算曲面亚纯m次微分的方法。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

基于Ricci流和满足雅可比条件的除子计算曲面亚纯m次微分的方法，所方法包括：

S1输入以三角形网格剖分为离散化的曲面Σ，以及曲面Σ上满足雅可比条件的亚纯m次微分除子

S2若存在点p_i∈D位于三角形面片内部，则在网格中添加新的结点并使其位置为p_i；

S3基于离散的曲面Ricci流计算平坦黎曼度量：

为所有结点设置目标曲率

对于带边界的紧致曲面，可以使用双层覆盖(Double Cover)技术将其转化成封闭曲面；对于每一个结点v_i∈Σ，将共形因子初始化为0，即u_i＝0。对于边e_ij＝[v_i,v_j]∈Σ，其长度由结点的共形因子给出：

其中，为边e_ij的初始长度，通常由的欧式度量决定；每一个角点的角度通过欧式余弦定律计算得到：

离散的Gauss曲率表示为：

离散的Ricci能量定义为：

能量的梯度为：

海森矩阵(Hessian matrix)由余切边权(cotangent edge weight)给出：

通过优化Ricci能量(公式5)得到曲面上的平坦黎曼度量；

S4基于计算得到的平坦黎曼度量构造曲面Σ上的亚纯m次微分。

需要说明的是，所述步骤S4包括：

S4.1计算曲面Σ上的一组下同调群基底{a₁,b₁,…,a_g,b_g}，并基于基底的组合构造一个切割图(cut-graph)Γ；

S4.2为除子D中的极点和零点，p_i，分别找一条最短路径γ_i连接至切割图Γ；

S4.3沿着切割图和最短路径的并集切开曲面Σ，得到基本域