[发明专利]一种预测高速主轴系统切削稳定性区域的方法

摘要

本发明是一种关于预测高速主轴系统切削稳定性区域的方法，该方法，首先计算主轴轴承的刚度，其次基于铁木辛柯梁单元理论，得到主轴系统的动力学综合方程，进而对主轴刀尖点进行激励，得到主轴系统的振动方程，通过改变转速，计算不同转速下的频响函数，仿真分析对应转速的切削稳定性图，取图上对应指定转速的极限切深点，依次循环，集合所有点得到新的不同转速下的切削稳定性图，传统切削稳定性图为指定转速下频响函数得到，图中也只有该转速对应的点为准确点，其余均为无用点，本发明方法得到的是准确的不同转速下的切削稳定性图，即不同转速对应不同转速下的临界切深。

主权项

一种关于预测高速主轴系统切削稳定性区域的方法，其特征在于包含以下步骤：步骤1：计算轴承刚度高速电主轴多采用高速精密角接触球轴承作为支撑轴承，而轴承动力学特性特别是轴承的刚度对电主轴动力学特性有重要的影响；本发明高速电主轴单元中的角接触球轴承采用5自由度接触受力模型，考虑轴承外圈固定不动，外圈沟道的曲率中心不变，内圈相对外圈的位移为Δδ＝(Δδ_x,Δδ_y,Δδ_z,Δγ_y,Δγ_z)，轴承在高速旋转过程中，滚珠与轴承内、外圈发生接触变形，符合赫兹基础理论；接触力和接触变形的关系如下：$\left\{\begin{array}{c}{Q}_{\mathrm{ik}}=K_i{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ik}}^{3/2}\\ Q_{\mathrm{ok}}=K_o{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ok}}^{3/2}\end{array}\right.$其中，Q_ik,Q_ok分别为第k个滚珠与内圈沟道、外圈沟道的接触力，K_i,K_o为接触变形—负荷系数，δ_ik、δ_ok为第k个滚珠与内、外滚道的接触变形；滚珠中心与内圈曲率中心发生变化，其变形几何相容平衡方程为：$\left\{\begin{array}{c}{(U_{\mathrm{ik}}-U_k)}^2+{(V_{\mathrm{ik}}-V_k)}^2-{[(f_i-0.5)D+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ik}}]}^2=0\\ U_k^2+V_k^2-{[(f_o-0.5)D+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ok}}]}^2=0\end{array}\right.$其中，U_k、V_k分别为外沟道曲率中心与球心的初始轴向、径向距离，U_ik、V_ik为变形后，内、外沟道曲率中心的轴向、径向距离，D为滚珠直径，f_i、f_o为内、外沟道半径曲率系数，δ_ik、δ_ok为滚珠与内、外滚到的接触变形；滚珠的受力平衡方程为：$\left\{\begin{array}{c}{Q}_{\mathrm{ok}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ok}}-M_{\mathrm{gk}}/D\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ok}}-Q_{\mathrm{ik}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ik}}+M_{\mathrm{gk}}/D\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ik}}-F_{\mathrm{ck}}=0\\ Q_{\mathrm{ok}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ok}}-M_{\mathrm{gk}}/D\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ok}}-Q_{\mathrm{ik}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ik}}+M_{\mathrm{gk}}/D\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ik}}-F_{\mathrm{ck}}=0\end{array}\right.$其中，Q_ik,Q_ok分别为第k个滚珠与内圈和外圈的接触力，θ_ik,θ_ik为第k个滚珠与内圈和外圈的接触角，M_gk/D为第k个滚珠受到的摩擦力，r_ic为内圈沟道曲率中心到轴承中心的距离；轴承内部滚珠在高速旋转的过程中承受离心力和陀螺力矩，其大小随着轴承的转速改变而变化，进而轴承刚度发生改变；高速旋转的过程中，离心力和陀螺力矩极大影响轴承的动力学特性，主要是轴承的刚度；第k个滚珠的离心力的计算公式如下：$G_{\mathrm{ck}}=\frac{1}{2}m{D}_m{\mathrm{\Ω}}^2{\left(\frac{{\mathrm{\Ω}}_E}{\mathrm{\Ω}}\right)}_k^2$其中，m为滚珠的质量，D_m为轴承中径，Ω为内圈转速，即主轴转速；Ω_E为保持架速度，即滚珠公转速度；第k个滚珠的陀螺力矩的计算公式如下：$M_{\mathrm{gk}}=J_b{\mathrm{\Ω}}^2{\left(\frac{{\mathrm{\Ω}}_B}{\mathrm{\Ω}}\right)}_k{\left(\frac{{\mathrm{\Ω}}_E}{\mathrm{\Ω}}\right)}_k\sin {\mathrm{\β}}_k$其中，J_b滚珠的质量惯性矩，Ω_B为滚珠的自转速度，β_k为第k个滚珠的姿态角；由于假设外圈固定不动，预紧力施加在内圈上，轴承整体平衡方程如下：其中为第k个滚珠的位置，r_ic为内圈沟道曲率中心到轴承中心的距离；综上，联立滚珠的变形几何相容方程和受力方程以及轴承的整体受力平衡方程，并且以赫兹接触理论和“外沟道控制理论”等为辅助方程，采用Newton‑Raphson方法能够求解出不同预紧力，不同转速下轴承位移以及滚珠的接触力、接触角等动力学参数；轴承内圈受力为：因此，内圈受力对整体相对位移求导能够得到轴承整体刚度，即；$K_B=\frac{F}{\mathrm{\Δ\δ}}$其中F为轴承的外载荷，Δδ为外载荷方向上，内圈相对外圈的位移；步骤2：建立主轴系统的动力学模型基于铁木辛柯梁单元理论，利用拉格朗日方程对主轴转子系统的有限元单元模型进行求解，考虑在高转速下离心力和陀螺转矩的影响，建立主轴系统的动力学模型：$M\stackrel{\·\·}{x}+C\stackrel{\·}{x}+\mathrm{Kx}=F\left(t\right)$进一步得到：${\left[M\right]}_b\left\{\stackrel{\·\·}{x}\right\}+(C^s-\mathrm{\Ω}{\left[G\right]}_b)\left\{\stackrel{\·}{x}\right\}+({\left[K\right]}_b^s+{\left[K\right]}_b+[K_b]-{\mathrm{\Ω}}^2{\left[M\right]}_C)\left\{x\right\}={\left\{F\right\}}_b$其中,[M]_b和[K]_b分别是主轴梁单元的质量阵和刚度阵，[K_B]为轴承的刚度阵，为轴向力引起的主轴刚度阵，[G]_b是主轴的陀螺矩阵，[M]_C是由于离心力对主轴作用的质量阵，C^s为结构阻尼，Ω是主轴转速；主轴转速对主轴系统动态特性的影响主要由于两个因素决定的；第一，主轴的支撑刚度的影响，即轴承刚度[K_B]的变化影响；第二，由于主轴自身的离心力‑Ω²[M]_C和陀螺力矩[G]的影响；预紧力一定的情况下，随着转速的变化，轴承刚度[K_B]发生变化，而离心力‑Ω²[M]_C和陀螺力矩[G]对主轴系统的影响主要体现在刀尖点的频响函数上；步骤3：求解频响函数针对主轴系统，对刀尖点进行激励F；F＝F₀e^jωt可得，主轴系统的振动方程为：${\left[M\right]}_b\left\{\stackrel{\·\·}{x}\right\}+(C^s-\mathrm{\Ω}{\left[G\right]}_b)\left\{\stackrel{\·}{x}\right\}+({\left[K\right]}_b^s+{\left[K\right]}_b+[K_b]-{\mathrm{\Ω}}^2{\left[M\right]}_C)\left\{x\right\}={\left\{F\right\}}_o{e}^{\mathrm{j\ωt}}$预紧力一定的情况下，轴承刚度随着转速的改变而变化，所以主轴系统的刚度随着转速的变化而改变；通过对主轴系统的振动方程，采用固有特性法，两端进行拉氏变换得：G(ω)＝1/(c(n)‑mω²+jc(n)ω)其中，k(n)为主轴系统的整体刚度阵，随转速改变，所以用k(n)表示，m为主轴的质量阵，c(n)在主轴系统中表现为‑Ω[G]_b；根据$k\left(n\right)/m={\mathrm{\ω}}_n^2\left(n\right),c\left(n\right)/2\sqrt{k\left(n\right)}m=\mathrm{\ξ}\left(n\right)$得：$G\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{1/k\left(n\right)}{1-p^2\left(n\right)+2j{\mathrm{\ξ}}^2\left(n\right)p^2\left(n\right)}$其中，p(n)＝ω/ω(n)；最后得出频响函数的实部和虚部：$\mathrm{Re}\left[G\right]=\frac{(1/k\left(n\right))(1-p^2\left(n\right))}{{(1-p^2\left(n\right))}^2+{4\mathrm{\ξ}}^2\left(n\right)p^2\left(n\right)}$$\mathrm{Im}\left[G\right]=\frac{-(1/k\left(n\right))\left(2\mathrm{\ξ}\left(n\right)p\left(n\right)\right)}{{(1-p^2\left(n\right))}^2+4{\mathrm{\ξ}}^2\left(n\right)p^2\left(n\right)}$$\mathrm{\ϵ}=a\tan \frac{-2\mathrm{\ξ}\left(n\right)p\left(n\right)}{1-p^2\left(n\right)}$根据切削理论得出：$b_{\lim }=\frac{-1}{{2k}_s\mathrm{Re}\left[N\right]N_t^{*}}$其中，b_lim为临界切深，k_s为切削材料的剪切刚度，为平均齿数；上式推导引用平均齿的概念$N_t^{*}==\frac{{\mathrm{\φ}}_e-{\mathrm{\φ}}_s}{\frac{360}{N_t}}$其中，N_t为刀具总齿数，φ_e为单齿切入的角度，φ_s为切出的角度；步骤4：绘制切削稳定性图预紧力一定的情况下，不同转速轴承的动力学特性发生变化，主要是轴承的刚度发生变化，进而主轴系统的动态特性将发生变化，即不同转速对应不同的刀尖点频响函数；所以通过静止状态对主轴刀尖点的频响函数分析切削稳定特性并不符合实际工作条件，没有真正考虑到转速对刀尖点频响函数的影响；因此应该考虑各种转速状态下的与其对应刀尖点频响函数，即设定转速Ω，计算对应转速Ω的频响函数，绘制切削稳定性图，获取图中对应转速Ω的极限切深点，然后转速为Ω+ΔΩ，重复上述步骤，集合所有点绘制不同转速下的切削稳定性图。