[发明专利]一种基于偏微分方程的柔性机械臂干扰观测器设计方法

摘要

本发明是一种基于偏微分方程的柔性机械臂干扰观测器设计方法，它有四大步骤：步骤1：柔性机械臂的动力学建模；步骤2：干扰观测器的设计；步骤3：观测器稳定性的验证；步骤4：设计结束。本发明首先利用哈密尔顿原理，求出整个系统的PDE模型；然后基于该模型，设计合理的干扰观测器以估计外界的未知干扰；最后，通过设计合适的李雅普诺夫函数，对所设计的观测器进行分析，进而验证其稳定性。

主权项

一种基于偏微分方程的柔性机械臂干扰观测器设计方法，其特征在于：该方法包括以下步骤：步骤1：柔性机械臂动力学建模柔性机械臂的动力学建模采用哈密尔顿原理的方法，建模时用到的状态变量θ(t)、y(x,t)分别表示在t时刻机械臂的关节角度和x点处的弹性变形；为了表示方便，以下分析中θ(t)、y(x,t)分别简写为θ、y(x)；柔性机械臂的自然边界条件为y(0)＝y_x(0)＝0 (1)其中，y_x(*)表示y(*)对x的一阶偏导数，定义z(x)＝xθ+y(x) (2)其中，z(x)为z(x,t)的简写，z_x(*)表示z(*)对x的一阶偏导数；由式(1)和式(2)得z(0)＝y(0)，从而$z\left(0\right)=0,z_x\left(0\right)=\mathrm{\θ},\frac{{\∂}^{n}z}{{\∂x}^n}=\frac{{\∂}^{n}y}{{\∂x}^n}(n\≥2)---\left(3\right)$由得z_xx(0)＝y_xx(0)，z_xx(L)＝y_xx(L)，z_xxx(L)＝y_xxx(L)；系统的动能、势能以及非保守力做功的表达式如下$E_k=\frac{1}{2}{I}_h{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^2+\frac{1}{2}{\∫}_0^L\mathrm{\ρ}{\stackrel{.}{z}}^2\left(x\right)\mathrm{dx}+\frac{1}{2}m{\stackrel{.}{z}}^2\left(L\right)$$E_p=\frac{1}{2}{\∫}_0^L{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}^2\left(x\right)\mathrm{dx}$$W_{\mathrm{nc}}=(\mathrm{\τ}+d_1)\mathrm{\θ}+(F+d_2)z\left(L\right)+{\∫}_0^{L}f\left(x\right)z\left(x\right)\mathrm{dx}$其中，EI为均匀梁的弯曲刚度，L为机械臂的长度，m为机械臂末端负载的质量，I_h为中心转动惯量，ρ为机械臂单位长度上的质量，τ为首端控制力矩输入，F为末端控制力矩输入，d₁为首端控制输入慢时变干扰，d₂为末端控制输入慢时变干扰；由哈密尔顿原理得柔性机械臂的PDE模型如下$\mathrm{\ρ}\stackrel{..}{z}\left(x\right)=-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxxx}}\left(x\right)---\left(4a\right)$$\mathrm{\τ}+d_1=I_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)---\left(4b\right)$$F+d_2=m\stackrel{..}{z}\left(L\right)-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)---\left(4c\right)$y(0)＝y_x(0)＝y_xx(L)＝0 (4d)步骤2：干扰观测器设计设计观测器的基本思想就是用估计输出与实际输出的差值对估计值进行修正，因此，取${\stackrel{\stackrel{.}{\∩}}{d}}_1=L_1(d_1-{\stackrel{\∩}{d}}_1),{\stackrel{\stackrel{.}{\∩}}{d}}_2=L_2(d_2-{\stackrel{\∩}{d}}_2),$其中，L₁>0，L₂>0，为对d₁的估计，为对d₂的估计；定义辅助参数向量$w_1={\stackrel{\∩}{d}}_1-P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}),w_2={\stackrel{\∩}{d}}_2-P_2(z\left(L\right),\stackrel{.}{z}\left(L\right));$其中，$P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}})=L_1{I}_h\stackrel{.}{\mathrm{\θ}},$$P_2(z\left(L\right),\stackrel{\·}{z}\left(L\right))=L_{2}m\stackrel{.}{z}\left(L\right),$则${\stackrel{.}{P}}_1=(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}})=L_1{I}_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}},{\stackrel{.}{P}}_2(z\left(L\right),\stackrel{.}{z}\left(L\right))=L_{2}m\stackrel{..}{z}\left(L\right);$由(4b)得则由上述各式求得${\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_1=L_1(d_1-{\stackrel{\∩}{d}}_1)=L_1(I_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ})-L_1{\stackrel{\∩}{d}}_1$$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{w}}_1={\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_1-{\stackrel{.}{P}}_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}})\\ =L_1(I_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{EIZ}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ})-L_1{\stackrel{\∩}{d}}_1-L_1{I}_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}\\ =L_1({-\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ})-L_1{\stackrel{\∩}{d}}_1\end{array}---\left(5\right)$同理，由(4c)可得$d_2=m\stackrel{..}{z}\left(L\right)-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)-F,$则${\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_2=L_2(d_2-{\stackrel{\∩}{d}}_2)=L_2(m\stackrel{..}{\mathrm{z\θ}}-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)-\mathrm{F\τ})-L_2{\stackrel{\∩}{d}}_2$$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{w}}_2={\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_2-{\stackrel{.}{P}}_2(z\left(L\right)\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{z\θ}}\left(L\right))\\ =L_2(m\stackrel{..}{\mathrm{z\θ}}\left(L\right)-{\mathrm{EIZ}}_{\mathrm{xx}}\left(L\right)-\mathrm{F\τ})-,L_2{\stackrel{\∩}{d}}_2-L_{2}m\stackrel{..}{z}\left(L\right)\\ =L_2({-\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)-\mathrm{F\τ})-L_2{\stackrel{\∩}{d}}_2\end{array}---\left(6\right)$故干扰观测器设计为$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{w}}_1=L_1(-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ})-L_1{\stackrel{\∩}{d}}_1\\ {\stackrel{\∩}{d}}_1=w_1+P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}})\end{array}---\left(7a\right)$$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{w}}_2=L_2(-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)-\mathrm{F\τ})-L_2{\stackrel{\∩}{d}}_2\\ {\stackrel{\∩}{d}}_2=w_2+P_2(z\left(L\right)\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}\left(L\right))\end{array}---\left(7b\right)$由式(7a)和(7b)得$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{w}}_1=L_1({-\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ})-L_1(w_1+P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}))\\ =L_1({-\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ}-P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}))-L_1{w}_1\end{array}---\left(8\right)$$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{w}}_2=L_2({-\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(0\right)-\mathrm{F\τ})-L_2(w_2+P_2(z\left(L\right)\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}\left(L\right)))\\ =L_2({-\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(L\right)-\mathrm{F\τ}-P_2(z\left(L\right)\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{z\θ}}\left(L\right)))-L_2{w}_2\end{array}---\left(9\right)$定义干扰误差由于干扰均为慢时变干扰，认为${\stackrel{.}{d}}_2=0,$则得${\stackrel{.}{\stackrel{~}{d}}}_1={\stackrel{.}{d}}_1-{\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_1=-{\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_1---\left(10\right)$${\stackrel{.}{\stackrel{~}{d}}}_2={\stackrel{.}{d}}_2-{\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_2=-{\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_2---\left(11\right)$所以，由式(7a)至(11)以及和的表达式，得观测误差方程为$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{\stackrel{~}{d}}}_1=-{\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_1=-{\stackrel{.}{w}}_1-{\stackrel{.}{P}}_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}})\\ =-L_1(-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ}-P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}))+L_1{w}_1-L_1{L}_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}\\ =L_1(w_1+P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}))-L_1(I_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ})\\ =L_1{\stackrel{\∩}{d}}_1-L_1{d}_1=-L_1{\tilde{d}}_1\end{array}---\left(12\right)$$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{\stackrel{~}{d}}}_2=-{\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_2=-{\stackrel{.}{w}}_2-{\stackrel{.}{P}}_2(z\left(L\right)\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{z\θ}}\left(L\right))\\ =-L_2(-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)-\mathrm{F\τ}-P_2(z\left(L\right)\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{z\θ}}\left(L\right)))+L_2{w}_2-L_{2}m\stackrel{..}{\mathrm{z\θ}}\\ =L_2(w_2+P_2(z\left(L\right)\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{z\θ}}\left(L\right)))-L_2(m\stackrel{..}{\mathrm{z\θ}}-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)-\mathrm{F\τ})\\ =L_2{\stackrel{\∩}{d}}_2-L_2{d}_2=-L_2{\tilde{d}}_2\end{array}---\left(13\right)$即通过设计L₁、L₂，使估计值按指数逼近干扰d₁、d₂；针对定义${\stackrel{\·}{P}}_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}})=L_1{I}_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}},{\stackrel{..}{P}}_2(z\left(L\right),\stackrel{.}{z}\left(L\right))=L_{2}m\stackrel{..}{z}\left(L\right),$分别取$P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}})=c_1\stackrel{.}{\mathrm{\θ}},$c₁>0，$P_2(z\left(L\right),\stackrel{\·}{z}\left(L\right))=c_2\stackrel{.}{z}\left(L\right),$c₂>0，则得$L_1=\frac{c_1}{I_h},L_2=\frac{c_2}{m}---\left(14\right)$在仿真过程中，观测器的参数选为c₁＝5，c₂＝5；因为干扰是慢时变的，所以选取d₁(t)＝10+0.1sin(t)(N·m)，d₂(t)＝10+0.1sin(t)(N·m)；控制输入力矩选取τ＝sin(t)(N·m)，F＝sin(t)(N·m)；参数估计的初始值均为0.5(N·m)，系统其他物理参数如表1所示；表1柔性机械臂物理参数的数值步骤3：观测器稳定性的验证设计系统的李雅普诺夫函数为V_o(t)＝V₁(t)+V₂(t)其中，$V_1\left(t\right)=\frac{1}{2}{I}_h{{\tilde{d}}_1}^2,V_2\left(t\right)=\frac{1}{2}m{{\tilde{d}}_2}^2;$则${\stackrel{.}{V}}_1\left(t\right)=I_h{\tilde{d}}_1{\stackrel{.}{\stackrel{~}{d}}}_1=I_h{\tilde{d}}_1(-L_1{\tilde{d}}_1)=-L_1{I}_h{{\tilde{d}}_1}^2=-c_1{{\tilde{d}}_1}^2$${\stackrel{.}{V}}_2\left(t\right)=m{\tilde{d}}_2{\stackrel{.}{\stackrel{~}{d}}}_2=m{\tilde{d}}_2(-L_2{\tilde{d}}_2)=-L_{2}m{{\tilde{d}}_2}^2=-c_2{{\tilde{d}}_2}^2$则${\stackrel{.}{V}}_o\left(t\right)={\stackrel{.}{V}}_1\left(t\right)+{\stackrel{.}{V}}_2\left(t\right)=-c_1{{\tilde{d}}_1}^2-c_2{{\tilde{d}}_2}^2\≤-{\mathrm{\λ}}_0{V}_o\left(t\right)$其中${\mathrm{\λ}}_0=\min (\frac{{2c}_1}{I_h},\frac{{2c}_2}{m});$所以，上述不等式的解为$V_o\left(t\right)\≤V_o\left(0\right)e^{-{\mathrm{\λ}}_{0}t}$即当t→∞时，V_o(t)以指数形式收敛于零，系统是稳定的；步骤4：设计结束整个设计过程重点考虑三个方面，首先是实现了柔性机械臂的动力学建模，其次针对未知的外界设计了合适的干扰观测器，最后利用李雅普诺夫函数，对设计出的观测器进行稳定性分析；综上所述，针对柔性机械臂的PDE模型，利用上述干扰观测器，在外界干扰不确定的情况下，实现对干扰的准确估计。