[发明专利]一种转子-叶片耦合系统固有频率的确定方法

摘要

本发明一种转子-叶片耦合系统固有频率的确定方法，属于机械动力学技术领域，本发明节省了实验测试需要的传感器、放大器以及显示或记录仪表所用的成本费用；能够获得较高阶次的固有频率以及旋转状态下的固有频率；本发明无需重复建模，仅需修改系统的结构尺寸后即可得到不同转子-叶片耦合系统的固有频率；本发明考虑了耦合系统复杂阶梯转轴的弯曲和扭转的影响、轴和盘的陀螺效应，以及离心刚化、旋转软化和叶片的科氏力影响，能够得到更加准确的结果；此外，本发明还能进行转子-叶片耦合系统不平衡响应、叶尖碰摩等故障分析，从而实现系统结构的优化。

主权项

一种转子‑叶片耦合系统固有频率的确定方法，其特征在于，包括以下步骤：步骤1、构建转子‑叶片耦合系统所需三维坐标系，包括：整体坐标系、第i个叶片局部坐标系、圆盘坐标系和第i个旋转坐标系；具体如下：整体坐标系OXYZ：以静止态下转子‑叶片耦合系统的圆盘中心点为原点构建整体坐标系，该坐标Z轴平行于转子‑叶片耦合系统的转轴方向；第i个叶片局部坐标系ox^by^bz^b：以转子‑叶片耦合系统第i个叶片根部中心点为原点建立叶片局部坐标系，该坐标的x^b轴沿着叶片长度方向，y^b轴沿着叶片厚度方向，z^b轴沿着叶片宽度方向；圆盘坐标系ox^dy^dy^d：以旋转态下转子‑叶片耦合系统的圆盘中心点为原点建立圆盘坐标系，该坐标z^d轴垂直于圆盘，该坐标的x^d、y^d轴分别平行于整体坐标系的X、Y轴；第i个旋转坐标系ox^ry^rz^r：以旋转态下转子‑叶片耦合系统的圆盘中心点为原点建立旋转坐标系，该坐标z^r轴垂直于圆盘，该坐标x^r轴与圆盘坐标系x^d轴的夹角为其中，θ(t)为圆盘运动的角位移，表示第i个叶片在叶片组中的位置；N_b为叶片数；步骤2、在转子‑叶片耦合系统的旋转态下，确定系统的总动能，具体如下：步骤2‑1、确定转子‑叶片耦合系统中第i个叶片的动能，具体步骤如下：步骤2‑1‑1、根据圆盘处转轴的扭转角，确定第i个叶片局部坐标系与第i个旋转坐标系的转换矩阵A₁；步骤2‑1‑2、根据圆盘运动的角位移和每个叶片在所有叶片中的位置，确定第i个旋转坐标系与圆盘坐标系的转换矩阵A₂；步骤2‑1‑3、在转子‑叶片耦合系统旋转态下，根据旋转时圆盘所产生的位移、圆盘半径和叶片的剪切角，确定第i个叶片上任意一点Q在整体坐标系中的位移向量；计算公式如下：其中，x表示Q点在第i个叶片局部坐标系ox^by^bz^b中沿叶片长度方向的位置；y表示Q点在第i个叶片局部坐标系ox^by^bz^b中沿叶片厚度方向的位置；表示第i个叶片局部坐标系ox^by^bz^b中叶片剪切角；x_d表示圆盘旋转时在整体坐标系OXYZ中的X方向位移；y_d表示圆盘旋转时在整体坐标系OXYZ中的Y方向位移；z_d表示圆盘旋转时在整体坐标系OXYZ中的Z方向位移；R_d表示圆盘的半径；u为Q点在第i个叶片局部坐标系ox^by^bz^b中叶片长度方向位移；v为Q点在第i个叶片局部坐标系ox^by^bz^b中叶片厚度方向位移；w为Q点在第i个叶片局部坐标系ox^by^bz^b中叶片宽度方向位移；步骤2‑1‑4、根据叶片的横截面积、叶片密度、叶片长度和Q点的速度，获得叶片动能；第i个叶片动能T_blade计算公式如下：$T_{\mathrm{blade}}=\frac{1}{2}{\∫}_0^L{\mathrm{\ρ}}_b{A}_b{\stackrel{.}{r}}_Q^2\mathrm{dx}=\frac{1}{2}(T_1+T_2)---\left(2\right)$其中，A_b表示叶片的横截面积；ρ_b表示叶片密度；L表示叶片长度；为第i个叶片上任意一点Q的速度；T₁表示第i个叶片振动产生的动能项；T₂表示第i个叶片与转子耦合振动产生的动能项；T₁的表达式如下：公式(3)中，表示圆盘运动的角速度；I_b表示叶片任意位置处的截面惯性矩；表示v对时间t的一阶导数；表示u对时间t的一阶导数；表示对时间t的一阶导数；T₂的表达式如下：公式(4)中，表示Ψ对时间t的一阶导数；步骤2‑2、确定转子‑叶片耦合系统中转轴的动能，具体步骤如下：步骤2‑2‑1、根据圆盘质心与圆盘形心位移之间的关系，获得圆盘质心在整体坐标系中X方向的位移x_c和Y方向的位移y_c；步骤2‑2‑2、根据获得的圆盘质心位移，结合圆盘的极转动惯量、轴段的极转动惯量、圆盘的直径转动惯量、轴段的直径转动惯量、圆盘在整体坐标系中的摆角和轴段在整体坐标系中的摆角，确定系统中转轴的动能；转轴的动能T_rotor计算公式如下：$\begin{array}{c}{T}_{\mathrm{rotor}}=\frac{1}{2}{J}_{\mathrm{pd}}{(\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}+\stackrel{.}{\mathrm{\Ψ}})}^2+\frac{1}{2}{m}_d({\stackrel{.}{x}}_c^2+{\stackrel{.}{y}}_c^2)-J_{\mathrm{pd}}(\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}+\stackrel{.}{\mathrm{\Ψ}}){\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{yd}}{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xd}}+\frac{1}{2}{J}_{\mathrm{dd}}({\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{xd}}^2+{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{yd}}^2)\\ +\underset{j=1}{\overset{N_d}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{2}{m}_j({\stackrel{.}{x}}_j^2+{\stackrel{.}{y}}_j^2)-\underset{j=1}{\overset{N_d}{\mathrm{\Σ}}}{J}_{\mathrm{pj}}\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{yj}}{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xj}}+\underset{j=1}{\overset{N_d}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{2}{J}_{\mathrm{dj}}({\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{xj}}^2+{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{yj}}^2)\end{array}---\left(5\right)$式中，表示圆盘质心在整体坐标系中X方向位移x_c对时间t的一阶导数；表示圆盘质心在整体坐标系中Y方向位移y_c对时间t的一阶导数；J_pd表示圆盘处集中质量点的极转动惯量；J_dd表示圆盘处集中质量点的直径转动惯量；J_pj表示第j个集中质量点的极转动惯量；J_dj表示第j个集中质量点的直径转动惯量；θ_xd表示圆盘绕整体坐标系X轴的摆角；θ_yd表示圆盘绕整体坐标系Y轴的摆角；m_d表示圆盘的质量；m_j表示转轴上的第j个集中质量点的质量；x_j表示转轴上的第j个集中质量点在整体坐标系中X方向位移；y_j表示转轴上的第j个集中质量点在整体坐标系中Y方向位移；θ_xj表示转轴上的第j个集中质量点绕整体坐标系X轴的转角；θ_yj表示转轴上的第j个集中质量点绕整体坐标系Y轴的转角；表示θ_xd对时间t的一阶导数；表示θ_yd对时间t的一阶导数；表示θ_xj对时间t的一阶导数；表示θ_yj对时间t的一阶导数；N_d表示集中质量点数；j≠p_disc，p_disc表示圆盘处集中质量点的编号；根据圆盘质心和形心之间的位置关系，获得转轴动能最终计算公式如下：$\begin{array}{c}{T}_{\mathrm{rotor}}=\frac{1}{2}{J}_{\mathrm{pd}}{(\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}+\stackrel{.}{\mathrm{\Ψ}})}^2+\frac{1}{2}{m}_d({({\stackrel{.}{x}}_d-e\sin (\mathrm{\θ}+\mathrm{\Ψ})(\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}+\stackrel{.}{\mathrm{\Ψ}}))}^2+{({\stackrel{.}{y}}_d+e\cos (\mathrm{\θ}+\mathrm{\Ψ})(\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}+\stackrel{.}{\mathrm{\Ψ}}))}^2)\\ -(\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}+\stackrel{.}{\mathrm{\Ψ}})J_{\mathrm{pd}}{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{yd}}{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xd}}+\frac{1}{2}{J}_{\mathrm{dd}}({\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{xd}}^2+{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{yd}}^2)+\underset{j=1}{\overset{N_d}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{2}{m}_j({\stackrel{.}{x}}_j^2+{\stackrel{.}{y}}_j^2)-\underset{j=1}{\overset{N_d}{\mathrm{\Σ}}}\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}{J}_{\mathrm{pj}}{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{yj}}{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xj}}+\underset{j=1}{\overset{N_d}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{2}{J}_{\mathrm{dj}}{({\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{xj}}+{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{yj}})}^2\end{array}---\left(6\right)$公式(6)中，e表示圆盘质心与形心不对中时的偏心距；步骤2‑3、将转子‑叶片耦合系统的叶片动能与转轴动能进行求和，获得系统总的动能；步骤3、在转子‑叶片耦合系统旋转态下，确定系统的总势能，具体如下：步骤3‑1、根据叶片的弹性模量、叶片的剪切模量、剪切修正系数、离心力和法向力，确定转子‑叶片耦合系统中第i个叶片的势能；第i个叶片的势能V_blade计算公式如下：其中，E_b表示叶片的弹性模量；G_b表示叶片的剪切模量；κ表示叶片的剪切修正系数；f_c表示叶片的离心力；F_n表示叶尖受到的法向力；步骤3‑2、根据圆盘处转轴的扭转刚度和转轴的各集中质量点位移向量，确定转子‑叶片耦合系统中转轴的势能；转轴的势能计算公式如下：$V_{\mathrm{rotor}}=\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{\Ψ}}{\mathrm{\Ψ}}^2+\frac{1}{2}{q}_r^T{K}_r{q}_r---\left(8\right)$其中，k_Ψ表示圆盘处转轴的扭转刚度；q_r表示转轴的各集中质量点位移向量，q_r＝[…x_j θ_yj……y_j θ_xj…]^T；K_r表示转轴刚度矩阵；步骤3‑3、将转子‑叶片耦合系统的叶片势能与转轴势能进行求和，获得系统总的势能；步骤4、根据获得的转子‑叶片耦合系统的总的动能和总的势能，结合哈密顿原理通过变分运算确定转子‑叶片耦合系统的运动情况，具体如下：步骤4‑1、根据获得的系统总的动能和势能，结合哈密顿原理进行变分运算，确定第i个叶片的运动微分方程；步骤4‑2、根据哈密顿原理进行变分运算，确定圆盘位置处的扭转运动微分方程；步骤4‑3、根据哈密顿原理进行变分运算，确定转轴的横向运动微分方程；步骤4‑4、根据正则坐标对第i个叶片的运动微分方程中的叶片的长度方向位移、厚度方向位移和剪切角进行离散化处理，获得第i个叶片的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；根据正则坐标对圆盘位置处的扭转运动微分方程中的叶片的长度方向位移、厚度方向位移和剪切角进行离散化处理，获得系统质量矩阵耦合项、阻尼矩阵耦合项和刚度矩阵耦合项；步骤4‑5、对叶片的质量矩阵、叶片科氏力矩阵、叶片刚度矩阵、质量矩阵耦合项、阻尼矩阵耦合项、刚度矩阵耦合项、圆盘位置处转轴的扭转质量、圆盘位置处转轴的扭转阻尼、圆盘位置处转轴的扭转刚度、转轴的质量矩阵、转轴的陀螺矩阵和转轴的刚度矩阵进行组集，获得转子‑叶片耦合系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，结合转子‑叶片耦合系统的广义坐标向量和外激振力向量构建转子‑叶片耦合系统的运动微分方程；步骤5、设定外激振力向量为零，根据获得的转子‑叶片耦合系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，确定转子‑叶片耦合系统的固有频率；步骤6、根据获得的转子‑叶片耦合系统的固有频率，确定系统的工作转速，避免共振，使系统运行稳定。