[发明专利]随机激励下大规模结构设计方法

摘要

本发明公开了一种随机激励下大规模结构设计方法，用于解决现有的结构设计方法实用性差的技术问题。技术方案是采用虚拟激励法结合模态加速度法计算随机激励下的位移响应均方根，然后以结构指定位置的位移响应均方根最小为目标，以结构质量为约束对结构进行设计。相比背景技术的设计方法，本发明方法明显提高了随机位移响应均方根的分析精度，最终设计得到清晰有效的结构构型，从而满足工程实际中大规模结构的设计需求。本发明方法实施例中结构的自由度数量为14762，是背景技术中结构自由度数量3782的3.9倍，设计得到的结构构型清晰有效，易于在实际工程中使用。

主权项

一种随机激励下大规模结构设计方法，其特征在于包括以下步骤：(a)建立设计空间有限元模型，设置拓扑设计变量η_h初始值，h是正整数表示单元编号，1≤h≤N_h，N_h表示结构单元总数量；给定材料密度ρ和杨氏模量E；给定质量约束上限(b)设置激励载荷，给出随机激励f(t)的功率谱密度矩阵S_f(ω)，f(t)为p维列向量，p为载荷中力的个数，t表示时间，S_f(ω)为p维方阵，其下标f表示其为激励f(t)的功率谱矩阵；ω为激励角频率，载荷的激励频段为表示激励角频率的下限，表示激励角频率的上限；根据矩阵LDLT分解，存在下式成立$S_f\left(\mathrm{\ω}\right)=\underset{q=1}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{\left({\mathrm{\γ}}_q\right)}^{*}{\left({\mathrm{\γ}}_q\right)}^T$其中Q为矩阵S_f(ω)的秩，γ_q为p维列向量表示第q个虚拟简谐激励，1≤q≤Q，上标T表示向量或矩阵的转置；(c)根据当前设计变量值，采用以下公式分别计算每一个有限元单元的材料密度ρ_h和杨氏模量E_hρ_h＝η_hρ$E_h=\frac{15{\mathrm{\η}}_h^5+{\mathrm{\η}}_h}{16}E$更新结构有限元模型中的相应材料属性并进行结构有限元分析；(d)从有限元分析结果中提取每个单元的刚度矩阵k_h和质量矩阵m_h，结构的前l阶模态频率值ω_i，1≤i≤l，模态振型为n行l列矩阵，n为结构总自由度数目；设置结构前l阶模态的阻尼比ζ_i；采用虚拟激励法结合模态加速度法计算结构自由度r的随机位移响应均方根的公式为${\mathrm{\σ}}_{u_r}={\left({\∫}_{\underset{\‾}{\mathrm{\ω}}}^{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}\underset{q=1}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|{\left(g_q\left(t\right)\right)}_r\left|\right|}^2\mathrm{d\ω}\right)}^{1/2}$式中u表示位移，||(g_q(t))_r||表示复数(g_q(t))_r的模，g_q(t)为n维列向量表示结构在第q个虚拟简谐激励γ_q下的位移响应，其第r项的计算公式为式中a为n维列向量，只有第r项为1，其它项均为0；为的第i列；b为n行p列由0、1组成的载荷分布矩阵，假如f(t)中第d个力施加在第z个自由度上，则b的第d列中只有第z个元素值是1，d列中其它元素值均为0；e^jωt表示以自然常数e为底数的指数函数，j²＝‑1；上式中，$H_i={({\mathrm{\ω}}_i^2-{\mathrm{\ω}}^2+2j{\mathrm{\ζ}}_i{\mathrm{\ω}}_i\mathrm{\ω})}^{-1}$x_q＝k^‑1(bγ_q)式中k为结构有限元整体刚度矩阵，x_q是第q个静力载荷bγ_q下的位移向量；结构自由度r的随机位移响应均方根对每一设计变量的灵敏度的计算公式为$\frac{{\∂\mathrm{\σ}}_{u_r}}{{\∂\mathrm{\η}}_h}=\frac{1}{{2\mathrm{\σ}}_{u_r}}{\∫}_{\underset{\‾}{\mathrm{\ω}}}^{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}\underset{q=1}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\left|\right|{\left(g_q\left(t\right)\right)}_r\left|\right|}^2}{{\∂\mathrm{\η}}_h}\mathrm{d\ω}$式中为偏微分符号，上式中$\frac{\∂{\left|\right|{\left(g_q\left(t\right)\right)}_r\left|\right|}^2}{{\∂\mathrm{\η}}_h}=2\left|\right|{\left(g_q\left(t\right)\right)}_r\left|\right|\frac{\∂\left|\right|{\left(g_q\left(t\right)\right)}_r\left|\right|}{{\∂\mathrm{\η}}_h}$式中$\frac{\∂\left|\right|{\left(g_q\left(t\right)\right)}_r\left|\right|}{{\∂\mathrm{\η}}_h}=(\mathrm{Re}\left({\left(g_q\left(t\right)\right)}_r\right)\mathrm{Re}\left(\frac{\∂{\left(g_q\left(t\right)\right)}_r}{{\∂\mathrm{\η}}_h}\right)+\mathrm{Im}\left({\left(g_q\left(t\right)\right)}_r\right)\mathrm{Im}\left(\frac{\∂{\left(g_q\left(t\right)\right)}_r}{{\∂\mathrm{\η}}_h}\right)){\left|\right|{\left(g_q\left(t\right)\right)}_r\left|\right|}^{-1}$式中Re表示复数的实部，Im表示复数的虚部，而式中$a^T\frac{{\∂x}_q}{{\∂\mathrm{\η}}_h}=-{\left({\mathrm{\Λ}}^T\right)}_h\frac{{\∂k}_h}{{\∂\mathrm{\η}}_h}{\left(x_q\right)}_h$$\frac{{\∂H}_i}{{\∂\mathrm{\η}}_h}=-H_i^2({2\mathrm{\ω}}_i\frac{{\∂\mathrm{\ω}}_i}{{\mathrm{\η}}_h}+{2\mathrm{j\ζ}}_i\mathrm{\ω}\frac{{\∂\mathrm{\ω}}_i}{{\mathrm{\η}}_h})$式中(x_q)_h表示结构在第q个静力载荷bγ_q下单元h的位移向量，(Λ^T)_h表示结构在静力载荷向量a下单元h的位移向量的转置；g表示模态阶数，1≤g≤l，表示单元h的第i阶模态振型向量；上式中Λ＝k^‑1a$\frac{{\∂k}_h}{{\∂\mathrm{\η}}_h}=\frac{75{\mathrm{\η}}_h^4+1}{15{\mathrm{\η}}_h^5+{\mathrm{\η}}_h}{k}_h$$\frac{{\∂m}_h}{{\∂\mathrm{\η}}_h}=\frac{1}{{\mathrm{\η}}_h}{m}_h$读取每个单元的体积V_h，计算结构整体质量M及其对每一设计变量的灵敏度计算式分别为$M=\underset{h=1}{\overset{N_h}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ρ}}_h{V}_h$$\frac{\∂M}{{\∂\mathrm{\η}}_h}={\mathrm{\ρV}}_h$(e)根据当前设计变量值和灵敏度值，以结构自由度r的随机位移响应均方根为目标函数，结构整体质量M为设计约束，采用数学规划法对优化问题进行求解得到新的设计变量值；(f)重复步骤(c)至步骤(e)，直至最近两次迭代计算得到目标函数相对误差小于1％或达到预设的最大迭代次数，得到设计结果。