[发明专利]一种非线性注塑机系统的注射速度迭代学习控制方法

摘要

本发明公开了一种非线性注塑机系统的注射速度迭代学习控制方法。首先建立以注射速度为输出的非线性注塑机系统模型；构建注塑机非线性状态变量动力方程；然后设计基于批次的时变遗忘因子迭代学习控制器；最后分析迭代控制算法的稳定性与控制器参数选择，在存在外部扰动影响条件下实现注塑机系统注射速度的期望轨迹跟踪控制。其优点是：提出的带遗忘因子的P型迭代学习控制算法对实际非线性系统模型的精度要求不高，控制器结构简单，具有一定的适应性和鲁棒性，并可进一步推广应用于机械手臂和发酵过程等其他工程对象。

主权项

一种非线性注塑机系统的注射速度迭代学习控制方法，其特征包括：建立以注射速度为输出的非线性注塑机系统模型；构建注塑机非线性状态变量动力方程；设计基于批次的时变遗忘因子迭代学习控制器；分析迭代控制算法的稳定性与控制器参数选择，在存在外部扰动影响条件下实现注塑机系统注射速度的期望轨迹跟踪。第一步：建立注塑机的非线性模型非线性注塑机模型可描述为：$\stackrel{\·}{Z}=v_z$${\stackrel{\·}{P}}_1=\frac{{\mathrm{\β}}_1}{v_{10}+A_{1}Z}(u-A_1{v}_z)$${\stackrel{\·}{v}}_z=\frac{1}{M}[P_1{A}_1-P_2{A}_2]-\frac{1}{M}\left[2\mathrm{\π\η}{R}_n^{1-n}(l_0+Z){\left(\frac{(S-1)v_z}{K_r^{1-s}-1}\right)}^n\right]---\left(1\right)$${\stackrel{\·}{P}}_2=\frac{{\mathrm{\β}}_2}{v_{20}+A_{2}Z}(A_2{v}_z-Q_p)$y(t)＝v_z+v(t)其中Z为注射位置，v_z为注射速度，P₁是注射油缸压力，P₂是喷嘴压力，Q_p是聚合物流动速率，u是流到注射油缸的液压油流量，v(t)为输出扰动，其他均为系统参数。其中A₁表示注射油缸的截面积，A₂表示料筒截面积，K_r表示螺杆半径和喷嘴半径的比例，l₀表示螺杆的初始长度，M表示螺杆质量，R_n表示喷嘴半径，v₁₀表示注射油缸容量，v₂₀表示料桶中聚合物的容量，β₁表示液压液体的体积模量，β₂表示喷嘴聚合体的体积模量，n表示聚合体熔融的幂率指数，S表示聚合体熔融的幂率指数的倒数，η表示聚合体粘滞系数，Q_p表示聚合体的平均流动率；第二步：构建注塑机非线性状态变量动力方程由于注塑机系统是一种重复运动过程，可表述为如下批次重复运行时间为T的时变非线性系统：$\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=f(t,x\left(t\right),u\left(t\right))$                                     (2)y(t)＝g(t,x(t),u(t))+v(t)式中t∈[0,T]，x(t)∈Rⁿ，y(t)∈R^m，u(t)∈R^r分别表示系统的状态、输出和控制向量；v(t)∈R^m是可量测的重复输出干扰；函数f(t,x(t),u(t))和g(t,x(t),u(t))是关于时间t分段连续的函数，且当时，满足||f(t,x₁,u)‑f(t,x₂,u)||≤F(t,u)·||x₁‑x₂||，||g(t,x₁,u)‑g(t,x₂,u)||≤g(t,u)·||x₁‑x₂||；由此可知，当时，可进一步满足||f(t,x,u₁)‑f(t,x,u₂)||≤M₁||u₁‑u₂||，||g(t,x,u₁)‑g(t,x,u₂)||≤M₂||u₁‑u₂||，其中F(t,u)，g(t,u)为连续一致有界函数，M₁和M₂为正常数；假设存在唯一的理想控制u_d(t)使得系统的状态和输出达到期望值x_d(t)，y_d(t)；因此，当系统在第k次运行时，系统(2)可描述的重复动态方程为：${\stackrel{\·}{x}}_k\left(t\right)=f(t,x_k\left(t\right),u_k\left(t\right))$                                 (3)y_k(t)＝g(t,x_k(t),u_k(t))+v_k(t)其中x_k(t)，y_k(t)，u_k(t)和v_k(t)分别为系统在第k次运行时的变量；第三步：设计基于批次的时变遗忘因子迭代学习控制器针对非线性系统(3)，定义系统的输出误差e_k(t)＝y_d(t)‑y_k(t)，则设计带遗忘因子的开环P型迭代学习控制器：u_k+1(t)＝λu₀(t)+(1‑λ)u_k(t)+k_p(t)e_k(t)                                 (4)式中0≤λ＜1是基于批次的时变遗忘因子，而且当k→∞时，λ→0。学习增益k_p(t)为有界矩阵，系统的初始控制u₀(t)分段连续有界，且对于所有的k，控制u_k(t)分段连续，且每次迭代运行时的初始误差{δx_k(0)}_k≥0为一收敛到零的序列；第四步：分析迭代控制算法的稳定性与控制器参数选择针对如式(2)所示的时变非线性系统，若采用如式(4)所示的带遗忘因子的P型迭代学习算法，则对于任意给定的初始控制u₀(t)及每次运行的初始状态x_k(0)所得序列皆对t一致收敛到x_d(t)，y_d(t)和u_d(t)的充分条件为谱半径：ρ[(1‑λ)I‑k_p(t)M₂]＜1,t∈[0,T]                        (5)其必要条件为：ρ[(1‑λ)I‑k_p(t)M₂]_t＝0＜1                          (6)其中控制参数k_p(t)和M₂均为常数；令$\left\{\begin{array}{c}f(t,{\mathrm{\δx}}_k\left(t\right),{\mathrm{\δu}}_k\left(t\right))=f(t,x_d\left(t\right),u_d\left(t\right))-f(t,x_d\left(t\right)-{\mathrm{\δx}}_k\left(t\right),u_d\left(t\right)-{\mathrm{\δu}}_k\left(t\right))\\ g(t,{\mathrm{\δx}}_k\left(t\right),{\mathrm{\δu}}_k\left(t\right))=g(t,x_d\left(t\right),u_d\left(t\right))-g(t,x_d\left(t\right)-{\mathrm{\δx}}_k\left(t\right),u_d\left(t\right)-{\mathrm{\δu}}_k\left(t\right))\end{array}\right.---\left(7\right)$$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\δx}}_k\left(t\right)=x_d\left(t\right)-x_k\left(t\right)\\ {\mathrm{\δu}}_k\left(t\right)=u_d\left(t\right)-u_k\left(t\right)\end{array}\right.---\left(8\right)$则由式(4)和式(8)可得：$\begin{array}{c}{\mathrm{\δu}}_{k+1}\left(t\right)=u_d\left(t\right)-u_{k+1}\left(t\right)\\ =u_d\left(t\right)-{\mathrm{\λu}}_0\left(t\right)-(1-\mathrm{\λ})u_k\left(t\right)-k_p\left(t\right)e_k\left(t\right)\\ ={\mathrm{\λ\δu}}_0\left(t\right)+(1-\mathrm{\λ}){\mathrm{\δu}}_k\left(t\right)-k_p\left(t\right)e_k\left(t\right)\end{array}---\left(9\right)$$\begin{array}{c}{e}_k\left(t\right)=y_d\left(t\right)-y_k\left(t\right)\\ =g(t,x_d\left(t\right),u_d\left(t\right))-g(t,x_k\left(t\right),u_k\left(t\right))-v_k\left(t\right)\\ =g(t,{\mathrm{\δx}}_k\left(t\right),{\mathrm{\δu}}_k\left(t\right))-v_k\left(t\right)\end{array}---\left(10\right)$将式(10)代入式(9)后得到：$\begin{array}{c}{\mathrm{\δu}}_{k+1}\left(t\right)=u_d\left(t\right)-u_{k+1}\left(t\right)\\ ={\mathrm{\λ\δu}}_0\left(t\right)+(1-\mathrm{\λ}){\mathrm{\δu}}_k\left(t\right)-k_p\left(t\right)e_k\left(t\right)\\ =[(1-\mathrm{\λ})I-k_p\left(t\right)M_2]{\mathrm{\δu}}_k\left(t\right)+\mathrm{\λ\δ}{u}_0\left(t\right)-k_p\left(t\right)g(t,u){\mathrm{\δx}}_k\left(t\right)\\ +k_p\left(t\right)v_k\left(t\right)\end{array}---\left(11\right)$定义算子P:C_r[0,T]→C_r[0,T]为：Pδu_k(t)＝[(1‑λ)I‑k_p(t)M₂]δu_k(t)                            (12)定义算子Q_k:C_r[0,T]→C_r[0,T]为：Q_k(δu_k)(t)＝λδu₀(t)+k_p(t))V_k(t)‑k_p(t)g(t,u)δx_k(t)                            (13)则式(11)可以改写为：δu_k+1(t)＝Pδu_k(t)+Q_k(δu_k)(t)＝(P+Q_k)…(P+Q₀)(δu₀)(t)                            (14)由式(3)可得：${\mathrm{\δx}}_k\left(t\right)={\mathrm{\δx}}_k\left(0\right)+{\∫}_0^{t}f(\mathrm{\τ},{\mathrm{\δx}}_k\left(\mathrm{\τ}\right),{\mathrm{\δu}}_k\left(\mathrm{\τ}\right))\mathrm{d\τ}---\left(15\right)$由式(7)，式(15)可以转化为：$\begin{array}{c}{\mathrm{\δx}}_k\left(t\right)={\mathrm{\δx}}_k\left(0\right)+{\∫}_0^{t}f(t,x_d\left(t\right),u_d\left(t\right))\mathrm{d\τ}-{\∫}_0^{t}f(t,x_d\left(t\right)-{\mathrm{\δx}}_k\left(t\right),u_d\left(t\right)-{\mathrm{\δu}}_k\left(t\right))\mathrm{d\τ}\\ ={\mathrm{\δx}}_k\left(0\right)+{\∫}_0^{t}f(t,x_d\left(t\right),u_d\left(t\right))\mathrm{d\τ}-{\∫}_0^{t}f(t,x_d\left(t\right)-{\mathrm{\δx}}_k\left(t\right),u_d\left(t\right))\mathrm{d\τ}\\ +{\∫}_0^{t}f(t,x_d\left(t\right)-{\mathrm{\δx}}_k\left(t\right),u_d\left(t\right))\mathrm{d\τ}-{\∫}_0^{t}f(t,x_d\left(t\right)-{\mathrm{\δx}}_k\left(t\right),u_d\left(t\right)-{\mathrm{\δu}}_k\left(t\right))\mathrm{d\τ}\end{array}---\left(16\right)$对式(16)取范数，并根据f(t,x(t),u(t))和g(t,x(t),u(t))的条件，可得：$\begin{array}{c}\left|\right|{\mathrm{\δx}}_k\left(t\right)\left|\right|\≤\left|\right|{\mathrm{\δx}}_k\left(0\right)\left|\right|+{\∫}_0^t{M}_1\left|\right|{\mathrm{\δu}}_k\left(\mathrm{\τ}\right)\left|\right|\mathrm{d\τ}+{\∫}_0^t\left|\right|F(t,u)\left|\right|\left|\right|{\mathrm{\δx}}_k\left(\mathrm{\τ}\right)\left|\right|\mathrm{d\τ}\\ \≤M_2\left(\right|\left|{\mathrm{\δx}}_k\left(0\right)\right||+{\∫}_0^t|\left|{\mathrm{\δu}}_k\left(\mathrm{\τ}\right)\right|\left|\mathrm{d\τ}\right)+M_2{\∫}_0^t\left|\right|{\mathrm{\δx}}_k\left(\mathrm{\τ}\right)\left|\right|\mathrm{d\τ}\end{array}---\left(17\right)$其中M₂＝max(1,M₁,||F(t,u)||)。进一步由Bellman不等式可得：$\begin{array}{c}\left|\right|{\mathrm{\δx}}_k\left(t\right)\left|\right|\≤M_2\left|\right|{\mathrm{\δx}}_k\left(0\right)\left|\right|e^{M_{2}t}+M_2{\∫}_0^t{e}^{M_2(t-\mathrm{\τ})}\left|\right|{\mathrm{\δu}}_k\left(\mathrm{\τ}\right)\left|\right|\mathrm{d\τ}\\ \≤M_2\left|\right|{\mathrm{\δx}}_k\left(0\right)\left|\right|e^{M_{2}T}+M_2{e}^{M_{2}T}{\∫}_0^t\left|\right|{\mathrm{\δu}}_k\left(\mathrm{\τ}\right)\left|\right|\mathrm{d\τ}\\ \≤M_3(b_{x_k}+{\∫}_0^t|\left|{\mathrm{\δu}}_k\left(\mathrm{\τ}\right)\right|\left|\mathrm{d\τ}\right)\end{array}---\left(18\right)$其中$M_3=M_2{e}^{M_{2}T},b_{x_k}=\underset{t\∈[0,T]}{\sup }\left|\right|{\mathrm{\δx}}_k\left(0\right)\left|\right|.$对算子Q_k取范数，可得：||Q_k(δu_k)(t)||≤||λ||δu₀(t)||+||k_p(t)||||v_k(t)||+||k_p(t)||||g(t,u)||||δx_k(t)||                            (19)因而可知：$\begin{array}{c}\left|\right|Q_k\left({\mathrm{\δu}}_k\right)\left(t\right)\left|\right|\≤\left|\right|\mathrm{\λ}\left|\right|\left|\right|{\mathrm{\δu}}_0\left(t\right)\left|\right|+\left|\right|k_p\left(t\right)\left|\right|\left|\right|v_k\left(t\right)\left|\right|+\left|\right|k_p\left(t\right)\left|\right|\left|\right|g(t,u)\left|\right|\left|\right|{\mathrm{\δx}}_k\left(t\right)\left|\right|\\ \≤\left|\right|\mathrm{\λ}\left|\right|\left|\right|{\mathrm{\δu}}_0\left(t\right)\left|\right|+\left|\right|k_p\left(t\right)\left|\right|\left|\right|v_k\left(t\right)\left|\right|\\ +\left|\right|k_p\left(t\right)\left|\right|\left|\right|g(t,u)\left|\right|\left|\right|M_3(b_{x_k}+{\∫}_0^t|\left|{\mathrm{\δu}}_k\left(\mathrm{\τ}\right)\right|\left|\mathrm{d\τ}\right)\\ \≤{\mathrm{\λb}}_{u_0}+k_p{b}_{v_k}+k_{p}g(t,u)M_3{b}_{x_k}+k_{p}g(t,u)M_3{\∫}_0^t\left|\right|{\mathrm{\δu}}_k\left(\mathrm{\τ}\right)\left|\right|\mathrm{d\τ}\\ \≤M_4+M_5{\∫}_0^t\left|\right|{\mathrm{\δu}}_k\left(\mathrm{\τ}\right)\left|\right|\mathrm{d\τ}\\ \≤M_5(b_k+{\∫}_0^t|\left|{\mathrm{\δu}}_k\left(\mathrm{\τ}\right)\right|\left|\mathrm{d\τ}\right)\end{array}---\left(20\right)$其中M₅＝k_pg(t,u)M₃,b_k＝M₄/M₅，b_k＝M₄/M₅，则选择满足充分必要条件的控制参数就可使得算子Q_k成立，进而对于可得即当k→∞时，e_k(t)→0，y_k(t)→y_d(t)。