[发明专利]一种加权小波（WWZ）分析方法

摘要

本发明公开了一种加权小波（WWZ）分析方法，它涉及非等间距数据点周期分析技术领域，对于小波变换处理非等间隔数据，Foster提出了向量投影的思想，他指出如果将小波变换看作向量的投影则可以很大程度上改善分析的结果，不但可以更准确地得到所求周期，而且能够揭示周期的稳定性。其过程是：采用(4)式中所示简化的Morle小波作为小波母函数来进行变换。它可以处理非等间距，而且处理的结果精确，也是一种很简单的处理方法，为求类星体光变周期提供了一种全新的方法。

主权项

一种加权小波(WWZ)分析方法，其特征在于：小波变换的定义为：如果一个信f(t)号属于平方可积空间L²(R)，则它的连续小波变换为:其中a为伸缩尺度，b为平移参数.将其离散化，形式为：其中称为小波函数。它是由小波母函数经过平移b和伸缩a得到。是一种长度有限、平均值为0的波形。它具有快速衰减的特性。通常所用的小波母函数为Morlet小波，它的形式为：ω₀是衰减因子，当ω₀取较大值时，上式第2项可以约去，因此有简化的Morlet小波，为：对于小波变换处理非等间隔数据，Foster提出了向量投影的思想，他指出如果将小波变换看作向量的投影则可以很大程度上改善分析的结果，不但可以更准确地得到所求周期，而且能够揭示周期的稳定性。其过程是：采用(4)式中所示简化的Morle小波作为小波母函数来进行变换。经过平移b和伸缩a之后它的形式变为：将上式变形得i0(t-b)-cωm2(t-b)2---(6)]]>其中根据重新定义的Morlet小波(7)式，利用向量投影的思想，可以把它看作一种加权的映射，为基函数，则就是它的统计权重。同时引入一个常数函数1(t)＝1，这样就可得到了向量空间的3个基函数：φ₁(t)＝1(t)            (7)φ₂(t)＝cos(ω_m(t‑b))      (8)φ₃(t)＝sin(ω_m(t‑b))        (9)将数据向量x(t)投影到这3个基函数上，就得到了一个模型函数$y\left(t\right)=\underset{a=1}{\overset{3}{\&Sigma;}}{y}_a{\mathrm{\&phi;}}_a\left(t\right)---\left(10\right)$映射是通过计算系数y_a的值来拟合数据。$y_a=\underset{b=1}{\overset{3}{\&Sigma;}}{s}_{a,b}^{-1}\&lt;{\mathrm{\&phi;}}_b|x\&gt;---\left(11\right)$其中s_a,b＝<φ_a|φ_b>，内积由公式$\&lt;f|g\&gt;=\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{\mathrm{\&alpha;}=1}^n{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{ft}}_{\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{gt}}_{\mathrm{\&alpha;}}}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{\mathrm{\&beta;}=1}^n{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{\&beta;}}}---\left(12\right)$给出。根据以上的过程，Foster定义了加权小波变换(WWT)$WWT=\frac{(N_{eff}-1)V_y}{2V_x}---\left(13\right)$其中$N_{eff}=\frac{{\left({\mathrm{\&Sigma;\&omega;}}_a\right)}^2}{{\mathrm{\&Sigma;\&omega;}}_a^2}---\left(14\right)$为有效数据个数。$V_x=\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{\&alpha;}}{x}^2\left(t_{\mathrm{\&alpha;}}\right)}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{\mathrm{\&beta;}}{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{\&beta;}}}-\&lsqb;{\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{\mathrm{\&beta;}}x\left(t_{\mathrm{\&alpha;}}\right)}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{\mathrm{\&beta;}}{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{\&beta;}}}}^2\&rsqb;---\left(15\right)$和$V_y=\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{\&alpha;}}{y}^2\left(t_{\mathrm{\&alpha;}}\right)}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{\mathrm{\&beta;}}{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{\&beta;}}}-\&lsqb;{\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{\mathrm{\&beta;}}y\left(t_{\mathrm{\&alpha;}}\right)}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{\mathrm{\&beta;}}{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{\&beta;}}}}^2\&rsqb;---\left(16\right)$分别为数据的加权偏差和模型函数的加权偏差，但是WWT很容易受到有效数据个数N_eff的影响，在低频部分由于小波形状的变化，其有效数据个数会比在高频部分的大，这就导致WWT的值会向高频部分偏移，使结果出现偏差。于是Foster根据他所提出的Z统计量定义了加权小波Z变换为：$Z=\frac{(N_{eff}-3)V_y}{2(V_x-V_y)}---\left(17\right)$它满足F分布，自由度为N_eff‑3和2，期望值为1。