[发明专利]一种动态网格的误差可控CAGE序列表示算法

摘要

本发明公开了一种动态网格的误差可控CAGE序列表示算法，包括实矩阵控制网格生成、基于Poisson方程的权重简化、稀疏矩阵控制网格生成和控制网格优化四个部分。给定输入三维形状序列和其中一帧的控制网格，该算法通过实矩阵控制网格生成得到控制网格序列，接着通过基于Poisson方程的权重简化得到具有局部性的稀疏坐标矩阵，之后执行稀疏矩阵控制网格生成，检测重构误差，如果最大误差值大于用户输入的容忍阈值，执行控制网格优化再重新执行上面三步直到满足用户指定值。本发明解决的是误差可控的动态网格的控制网格序列表示问题，可以应用到动态网格序列的压缩表示、加速编辑和形状迁移。

主权项

1.一种动态网格的误差可控CAGE序列表示算法，其特征在于，包括以下步骤：1)实矩阵控制网格生成针对给定的三维形状序列SM＝(M0,M1,…,MF)和其中一帧对应的控制网格C0，通过逆向工程算法得到三维形状序列对应的控制网格序列SC＝(C0,C1,…,CF)，其中，问题的数学描述如下式：Ei＝||ΦCi‑Mi||2                   (1)式中，Φ表示均值坐标构成的权重矩阵，通过控制网格和它对应的网格模型计算得到；Mi是三维形状序列中第i帧，通过上式(1)求解得到该帧对应的控制网格Ci，对三维形状序列中的每一帧进行同样操作得到控制网格序列SC＝(C0,C1,…,CF)；通过添加Laplacian项使得所求控制网格与输入的控制网格有相同的局部细节，即下式：ξdense(k)＝||ΦCk‑Mk||2+λ||Tk(Ck)δ‑LCk||2            (2)式中，T_k(C_k)是控制网格C_k的每个顶点的变换矩阵构成的大矩阵，δ是C₀的微分坐标组成的矩阵，LC_k是C_k每个顶点的微分坐标构成的矩阵；λ是后面一项的权重值，可根据三维形状序列本身运动信息进行调整，运动幅度越大该值设越大；将T_kδ表示成C_k的线性函数，推导过程如下面介绍：对于第i个顶点的变换矩阵有令所以(s h₁ h₂ h₃ t_x t_y t_z)^T＝(A₀ A₁ A₂ A₃ A₄ A₅ A₆)^Tb_i；那么将变换矩阵中的值分别代入后，变换后的微分坐标表达式推导过程如下：因为微分坐标具有平移不变性，所以在此处忽略掉平移量，故变换后的微分坐标可以表示为下式：将所有控制网格顶点变换后的微分坐标写在一起表示为NCk，其中N是3m×3m矩阵，Ck是3m×1的矩阵；最终的能量表达式为：ξSHP(k)＝||ΦCk‑Mk||2+λ||NCk‑LCk||2               (4)对于三维形状序列中的每一帧，通过上式(4)得到对应的控制网格，进而得到整个序列的控制网格；2)基于Poisson方程的权重简化存在大的重构误差的原因是权重矩阵Φ是通过形状序列中的第一帧M0和对应控制网格C0所得到，且均值坐标是全局影响，即模型上任何一个顶点都要受到所有控制点的影响；当给定的网格Mk较于原网格变形比较大时，实际上使用的权重矩阵Φ已经不能适用于Mk，这必将导致重构出来的网格存在扭曲；基于Poisson方程的权重简化方法提供了一种从多个输入模型中学习新的权重矩阵的方法，能够从输入的多个模型样例中学习到每个网格顶点受控制顶点影响的情况，使得原来的网格顶点受所有控制顶点影响变成只受k个控制顶点的影响；针对网格模型上的每一个顶点，简化方法首先从所有控制顶点中选择k个对其影响最大的控制顶点，同时将顶点影响权重设置为0；接着为了使这k个顶点的影响值满足权重约束，即权重值加起来为1，利用Poisson方程约束新的权重重构出来的样例模型与原模型的微分坐标尽可能相等；最后，对于网格模型上的所有顶点做相同的操作得到新的权重矩阵；简化方法使得新的权重矩阵既满足每个网格顶点只受k个控制顶点的影响又使得重构出来的模型很光滑；实矩阵控制网格生成输出的是控制网格序列S′C，在此将网格序列和对应的控制网格序列作为简化方法的输入，分别记作E和CE，共F+1个模型例子；对于网格上顶点v，选出k个对其影响最大的控制网格上的顶点，坐标值设为未知，控制网格上的顶点影响坐标值置为0；通过求解下式(5)使得利用新权重的重构样例模型的微分算子与原模型尽可能相等；式中，inf(vl)表示三维网格模型顶点vl受控制的控制网格顶点集合，n是网格顶点个数；优化问题的未知量是α，共有nk个元素；且上式(5)中还需加上权重性质约束，即网格上每个顶点受控制的k个控制网格顶点的权重之和为1，且每个权重值大于或者等于零；通过优化局部求解器进行求解；求解过程中假设：当求解一个网格上顶点受控制的控制网格顶点集合的影响权重值时，该顶点相邻的网格顶点的权重值是固定的；这样上式(5)就转化为一个只含有k个未知量的带约束的二次优化问题；对于求解得到的权重值立即更新到权重矩阵中，进行下一个顶点的权重值的求解过程；当网格上所有顶点的权重值都求出后，将其作为新的输入，迭代求解过程直到迭代次数达到设置值或者精度小于设定值；3)稀疏矩阵控制网格生成由于上式(5)中没有显示地约束重构得到的网格模型和原始的网格Mk相同，求得的新的权重坐标矩阵Φ′不能保证利用该矩阵重构出来的网格序列有很小的误差，所以有必要利用新求得的权重矩阵重新求解上公式(4)中的优化问题；此处需要说明，稀疏矩阵cage生成中的优化求解公式(6)和实矩阵控制网格生成中公式(4)有两方面的不同：一是权重矩阵Φ′，此步使用的是具有局部性的通过基于Poisson方程简化方法得到的新权重矩阵，二是第一帧的控制网格C0同样需要通过新的权重矩阵重新求解，也就意味着该控制网格的几何信息发生了相应的变化；ξSPA(k)＝||Φ′Ck‑Mk||2+λ||NCk‑LCk||2          (6)4)控制网格优化如果输入的控制网格的顶点个数为十几个到几十个，当输入的网格序列姿态变化多样时，控制网格很难有足够的灵活度来表示这些姿态；如果使用这样的控制网格进行动态几何序列的逆向工程的话，一般得到的控制网格序列的形状质量不高，同时重构出来的三维模型序列与原序列相比存在较大的误差；在考虑如何增加控制网格顶点问题之前，先介绍误差的计算公式；使用两种标准进行误差评定，一是平均误差，记为E₂，二是最大误差，记为E_∞；那么重构网格序列第k帧上顶点i与原网格对应顶点之间的距离计算公式是式中，dom(i)表示网格顶点i受控制网格顶点控制的索引集合；定义lk是第k 帧网格的包围盒的对角线长；误差的计算公式如下：在控制网格的不同位置增加顶点会有不同的效果，采用贪心算法，即在重构误差较大的地方增加控制网格顶点；误差较大的原因是控制网格在此处灵活度不够，不能够准确地拟合此处的网格顶点；通过在误差比较大的地方增加控制网格顶点能增加控制网格在此处的灵活度，进而能够更快地减少误差；利用稀疏矩阵重构步骤得到的控制网格序列S_C和权重矩阵Φ′重构出的原网格模型序列表示为P′＝{P₀,P₁,…,P_F}；假设用户输入能够容忍的最大误差为ε，根据欧氏距离计算公式选出重构误差大于ε的网格顶点，进而选择出其受影响最大的控制网格顶点，之后在它们周围添加顶点；具体过程是：首先定义一个网格顶点索引集合pSet，并将其设置为空；针对网格序列中的每一帧P_m，如果第j个顶点的重构误差大于ε，即下式：将加入pSet＝{j}，遍历重构序列网格上的顶点得到最终的pSet；针对pSet里的每一个元素，根据权重矩阵Φ′选出对应行中最大值的两个值对应的cage顶点，选择的就是标记的值所对应的控制网格顶点d和f，放入集合cSet；使用贪心算法，得到在周围需要添加顶点的控制网格顶点集合cSet；针对已经选出了需要在周围添加顶点的控制网格顶点集合，还需要找到需要处理的边并进行细分，详细过程如下：对于cSet里面的每一个控制网格顶点，找出共该点的所有边中最长的边；之后控制网格上所有三角面片被分成了四类，如果三角面片上没有一条边被标记，那么不对该面进行加点操作；如果三角面上有一条边被标记，那么计算被标记边的中点，与所对的顶点连接增加一条新的边；如果三角面上有两条边被标记，那么分别计算这 两条边的中点并连接构成一条新的边，之后连接最长边的中点及所对顶点构成一条新边；如果三角面的三条边都被标记，那么取这三条边的中点并相互连接构成三条新的边；对控制网格上所有面都进行上述操作后就完成了本次的控制网格优化。