[发明专利]一种电力系统Lyapunov稳定性分析方法

摘要

本发明提供一种电力系统Lyapunov稳定性分析方法，本发明基于CTODE模型的Lyapunov-Krasovskii稳定分析方法，有效降低了时滞微分方程的维数，待求变量数大为减少，因而具有更高计算效率。

主权项

一种电力系统Lyapunov稳定性分析方法，其特征在于，包括以下步骤：建立电力系统的带约束时滞微分方程(CTODE)模型时滞电力系统$\stackrel{\·}{z}=F(z,z_r)$其中：z＝[z₁,z₂,...，z_n]∈Rⁿ为系统状态向量，向量中的元素个数为n，Rⁿ表示n维实数向量；z_τ＝(z_τ1,...,z_τi,...,z_τk)，其中的z_τi＝[z₁(t‑τ_i),...,z_n(t‑τ_i)]∈Rⁿ，τ_i∈R,i＝1,2,...,k为时滞系数；将系统状态按不考虑时滞影响的状态在前，考虑时滞影响的状态在后的方式重新排列整理，就得到原时滞系统所对应的带约束时滞微分方程(CTODE)模型：${\stackrel{\·}{z}}_1=F_1(z_1,z_2)$${\stackrel{\·}{z}}_2=F_2(z_1,z_2,z_{2,\mathrm{\τ}})$其中：z＝[z₁,z₂]，为不考虑时滞影响的系统状态向量，是含n₁个元素的实数向量，n₁为不考虑时滞影响的状态变量的数目；为考虑时滞影响的系统状态向量，是含n₂个元素的实数向量，n₂为考虑时滞影响的状态变量的数目，n＝n₁+n₂为状态向量z的元素个数；z_2,τ＝(z_2,τ1,...,z_2,τi,...,z_2,τk)，其中的时滞状态向量τ_i∈R,i＝1,2,...,k为时滞系数；进一步，在系统平衡点处对其线性化，可得$\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{z}}_1=A_{11}{\mathrm{\Δz}}_1+A_{12}{\mathrm{\Δz}}_2$$\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{z}}_2=A_{21}{\mathrm{\Δz}}_1+A_{22}{\mathrm{\Δz}}_2+\underset{i=1}{\overset{k}{\Σ}}{A}_{di}{\mathrm{\Δz}}_{2,\mathrm{\τ}i}$其中$A_{11}=\frac{\∂F_1}{\∂z_1},A_{12}=\frac{\∂F_1}{\∂z_2},A_{21}=\frac{\∂F_2}{\∂z_1},A_{22}=\frac{\∂F_2}{\∂z_2},A_{d,i}=\frac{\∂F_2}{\∂z_{2,\mathrm{\τ}i}}$即得到时滞系统CTODE模型的线性化形式，基于带约束时滞微分方程模型的新稳定判据对于时滞系统的CTODE线性化模型$\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{z}}_1=A_{11}{\mathrm{\Δz}}_1+A_{12}{\mathrm{\Δz}}_2$$\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{z}}_2=A_{21}{\mathrm{\Δz}}_1+A_{22}{\mathrm{\Δz}}_2+\underset{i=1}{\overset{k}{\Σ}}{A}_{di}{\mathrm{\Δz}}_{2,\mathrm{\τ}i}$当k＝1时，如下定理给出了该系统稳定的条件：定理：给定标量τ₁>0，若存在如下对称正定矩阵：$P_{11}=P_{11}^T\>0,P_{22}=P_{22}^T\>0,Q=Q^T\>0,Z=Z^T\>0,X_{11}=X_{11}^T\>0,X_{22}=X_{22}^T\>0$分别称为对称第一矩阵、第二矩阵、…第六矩阵，和任意合适维数的矩阵P₁₂,N₁,N₂,X₁₂，分别称为一般第一矩阵、一般第二矩阵...一般第四矩阵，使得下式成立，则时滞系统在时滞为τ₁时渐进稳定：$\stackrel{\‾}{\mathrm{\Φ}}=\left[\begin{array}{ccc}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Φ}}}_{11}& {\stackrel{\‾}{\mathrm{\Φ}}}_{12}& {\stackrel{\‾}{\mathrm{\Φ}}}_{13}\\ {\stackrel{\‾}{\mathrm{\Φ}}}_{21}& {\stackrel{\‾}{\mathrm{\Φ}}}_{22}& {\stackrel{\‾}{\mathrm{\Φ}}}_{23}\\ {\stackrel{\‾}{\mathrm{\Φ}}}_{31}& {\stackrel{\‾}{\mathrm{\Φ}}}_{32}& {\stackrel{\‾}{\mathrm{\Φ}}}_{33}\end{array}\right]\<0,\stackrel{\‾}{\mathrm{\ψ}}=\left[\begin{array}{ccc}{X}_{11}& X_{12}& N_1\\ X_{21}^T& X_{22}& N_2\\ N_1^T& N_2^T& Z\end{array}\right]\>0$其中，${\stackrel{\‾}{\mathrm{\Φ}}}_{11}=P_{11}{A}_{11}+A_{11}^T{P}_{11}+P_{12}{A}_{21}+A_{21}^T{P}_{12}^T+{\mathrm{\τ}}_1{A}_{21}^T{\mathrm{ZA}}_{21}$${\stackrel{\‾}{\mathrm{\Φ}}}_{12}=P_{11}{A}_{12}+A_{11}^T{P}_{12}+P_{12}{A}_{22}+A_{21}^T{P}_{22}+{\mathrm{\τ}}_1{A}_{21}^T{\mathrm{ZA}}_{22}$${\stackrel{\‾}{\mathrm{\Φ}}}_{13}=P_{12}{A}_{d,1}+{\mathrm{\τ}}_1{A}_{21}^T{\mathrm{ZA}}_{d,1}$${\stackrel{\‾}{\mathrm{\Φ}}}_{22}=P_{12}^T{A}_{12}+A_{12}^T{P}_{12}+P_{22}{A}_{22}+A_{22}^T{P}_{22}+Q+N_1+N_1^T+{\mathrm{\τ}}_1{X}_{11}+{\mathrm{\τ}}_1{A}_{22}^T{\mathrm{ZA}}_{22}$${\stackrel{\‾}{\mathrm{\Φ}}}_{23}=P_{22}{A}_{d,1}-N_1+N_2+{\mathrm{\τ}}_1{X}_{12}+{\mathrm{\τ}}_1{A}_{22}^T{\mathrm{ZA}}_{d,1}$${\stackrel{\‾}{\mathrm{\Φ}}}_{33}=-Q-N_2-N_2^T+{\mathrm{\τ}}_1{X}_{22}+{\mathrm{\τ}}_1{A}_{d,1}^T{\mathrm{ZA}}_{d,1}$P₁₁,P₂₂,Q,Z,X₁₁,X₂₂和P₁₂,N₁,N₂,X₁₂矩阵为线性矩阵不等式系统的算法条件。