[发明专利]一种求解不确定热传导问题的随机正交展开方法

摘要

本发明公开了一种求解不确定热传导问题的随机正交展开方法，步骤如下：引入随机变量对热传导问题中的不确定参数进行定量化表示；结合随机变量建立热传导问题的随机微分控制方程；根据随机变量分布类型选用正交多项式基底函数，将随机温度响应进行正交展开；给定每个随机变量的配点数量，利用张量积法则构造整个不确定空间的配点集合；计算所有配点处的温度响应，利用矩阵的广义逆求得温度响应正交展开式中的各项系数；根据基底函数的正交关系计算随机温度响应的均值和标准差。本发明可系统化解决含有随机不确定参数的热传导问题，进一步提高了随机不确定分析方法的计算精度，这是一般商用软件所不能实现的。

主权项

1.一种求解不确定热传导问题的随机正交展开方法，其特征在于包括以下步骤：步骤一：引入n个随机变量ξ1,ξ2,...,ξn对热传导问题中的不确定参数进行定量化表示，并将其统一记为向量的形式ξ＝(ξ1,ξ2,...,ξn)，步骤二：结合步骤一中引入的随机变量，建立热传导问题的随机微分控制方程：其中x为物理坐标，T为温度响应，k为材料热传导系数，f表示系统的热源强度；步骤三：根据步骤一中随机变量的分布类型选用合适的正交多项式基底函数，将步骤二随机微分控制方程中涉及的温度响应T(x；ξ)进行正交展开，得到随机温度响应的正交展开式：其中Φ_i(ξ)为事先选定的正交多项式基底函数，T_i(x)为对应的各项系数，i＝(i₁,i₂,...,i_n)且满足|i|＝i₁+i₂+...+i_n，N为正交多项式的截断阶数；上述正交多项式中展开项的个数可用随机变量个数n和截断阶数N计算n为随机变量的个数；步骤四：给定每个随机变量所对应的配点数量，利用张量积法则构造整个不确定空间的配点集合，首先，对于随机变量ξ_i而言，确定其分布区间其中ξ_i和表示此分布区间的下界和上界；其次，给定配点数量m_i，则在区间中各个配点的具体位置为：其中和称作区间的中点和半径；然后，用点集表示随机变量ξ_i在分布区间内所有配点组成的集合，那么对于n个随机变量组成的整个不确定空间而言，直接利用张量积法则可得配点集合Θ：而配点集合Θ中的配点总数M为：在此基础上，将配点集合Θ改写为的形式，用来表示整个不确定空间中所有的配点其中上标node为配点符号；步骤五：计算步骤四配点集合中所有配点处的温度响应，建立关于步骤三随机温度响应正交展开式中各项系数的线性方程组，利用矩阵的广义逆对此线性方程组进行求解，得到各项系数的一组值，首先，步骤二中的随机微分控制方程在配点处表示为：其次，对上述方程进行求解，得到所有配点处的温度响应然后，基于步骤三中随机温度响应的正交展开式，建立关于各项系数Ti(x)的线性方程组：紧接着，利用矩阵的广义逆对此线性方程组进行求解，得到各项系数Ti(x)的一组值；步骤六：将步骤五中得到的各项系数Ti(x)的一组值代回到步骤三随机温度响应的正交展开式中，根据基底函数的正交关系，最终得到随机温度响应T(x；ξ)的均值E[T(x；ξ)]和标准差σ[T(x；ξ)]：E[T(x；ξ)]≈E[TN(x；ξ)]＝T0(x)其中γi为表征基底函数正交关系的归一化因子。