[发明专利]一种小行星附着轨迹抗差优化方法

摘要

本发明涉及一种小行星附着轨迹抗差优化方法，属于行星着陆技术领域。该方法首先根据初始状态、推力方向和大小以及目标天体参数等不确定因素的数学模型，采用线性协方差方法推导了小行星附着过程的误差传播方程。然后，通过在轨迹优化过程中引入跟踪制导策略，达到抑制误差传播、进而提高着陆轨迹鲁棒性的目标。本发明能够节省着陆器附着过程的燃料消耗，同时能够降低参数不确定性对轨迹的影响。小行星附着抗差优化方法采用线性协方差方法定量描述随机变量对着陆过程的影响，在轨迹优化过程中考虑了跟踪制导策略，从而在跟踪过程中能够有效抑制各种误差的传播，达到提高着陆精度的目标。

主权项

一种小行星附着轨迹抗差优化方法，其特征在于：具体实现步骤如下：步骤一、着陆动力学建模在小天体固连坐标系下，探测器着陆动力学方程表达为：$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{..}{x}={\mathrm{\ω}}^{2}x+2\mathrm{\ω}\stackrel{.}{y}+V_x+T_x/m\\ \stackrel{..}{y}={\mathrm{\ω}}^{2}y-2\mathrm{\ω}\stackrel{.}{x}+V_y+T_y/m\\ \stackrel{..}{z}=V_z+T_z/m\\ \stackrel{.}{m}=-T/\left(I_{\mathrm{sp}}{g}_0\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$式中，x,y,z分别为探测器的三轴位置，m为探测器质量，ω为小天体的自旋角速度；T_x,T_y,T_z分别为三轴方向的控制力，其中，T_x＝Tcosφ_Tcosθ_T，T_x＝Tcosφ_Tsinθ_T，T_z＝Tsinφ_T,T为推力大小(T_min≤T≤T_max)，T_min、T_max分别为发动机最小和最大推力，φ_T和θ_T为推力方向角；I_sp发动机比冲，g₀为地球海平面引力加速度；V_x，V_y和V_z分别为小天体引力势函数的一阶偏导数；步骤二、误差建模与随机状态方程自旋角速度增广为探测器着陆动力学方程(即公式1)的新状态：ω＝(1+C_ωσ_ω)ω_N            (2)其中下标N代表标称量，C_ω为标准正态分布，记作N(0,1)；σ_ω为参数不确定性的标准差；将推力噪声和引力误差建模为作用在着陆器上的随机过程噪声；推力大小和方向误差通过下式转化为三个坐标轴方向的误差：$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\δ}}_{T_x}\\ {\mathrm{\δ}}_{T_y}\\ {\mathrm{\δ}}_{T_z}\end{array}\right]={\mathrm{\δ\θ}}_T\left[\begin{array}{c}-T_N{\mathrm{cos\φ}}_{T,N}{\mathrm{sin\θ}}_{T,N}\\ T_N{\mathrm{cos\φ}}_{T,N}{\mathrm{cos\θ}}_{T,N}\\ 0\end{array}\right]+{\mathrm{\δ\φ}}_T\left[\begin{array}{c}-T_N{\mathrm{sin\φ}}_{T,N}{\mathrm{cos\θ}}_{T,N}\\ -T_N{\mathrm{sin\φ}}_{T,N}{\mathrm{sin\θ}}_{T,N}\\ T_N{\mathrm{cos\φ}}_{T,N}\end{array}\right]+\mathrm{\δ}T\left[\begin{array}{c}{\mathrm{cos\φ}}_{T,N}{\mathrm{cos\θ}}_{T,N}\\ {\mathrm{cos\φ}}_{T,N}{\mathrm{sin\θ}}_{T,N}\\ {\mathrm{sin\φ}}_{T,N}\end{array}\right]---\left(3\right)$其中和分别为三轴方向的推力误差，δθ_T,δφ_T和δT分别为推力方向角和推力大小误差；此处，假设推力方向角和推力大小误差满足正态分布，标准差分别为σ_θ,σ_φ和σ_T；根据随机变量的特性能够得到，和的平均值也为0，方差为：$\left\{\begin{array}{c}Var\left({\mathrm{\δ}}_{T_x}\right)={\left(T_N{\mathrm{cos\φ}}_{T,N}{\mathrm{sin\θ}}_{T,N}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}\right)}^2+{\left(T_N{\mathrm{sin\φ}}_{T,N}{\mathrm{cos\θ}}_{T,N}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\φ}}\right)}^2+{\left({\mathrm{cos\φ}}_{T,N}{\mathrm{cos\θ}}_{T,N}{\mathrm{\σ}}_T\right)}^2\\ Var\left({\mathrm{\δ}}_{Ty}\right)={\left(T_N{\mathrm{cos\φ}}_{T,N}{\mathrm{cos\θ}}_{T,N}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}\right)}^2+{\left(T_N{\mathrm{sin\φ}}_{T,N}{\mathrm{sin\θ}}_{T,N}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\φ}}\right)}^2+{\left({\mathrm{cos\φ}}_{T,N}{\mathrm{sin\θ}}_{T,N}{\mathrm{\σ}}_T\right)}^2\\ Var\left({\mathrm{\δ}}_{Tz}\right)={\left(T_N{\mathrm{cos\φ}}_{T,N}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\φ}}\right)}^2+{\left({\mathrm{sin\φ}}_{T,N}{\mathrm{\σ}}_T\right)}^2\end{array}\right.---\left(4\right)$考虑了引力误差的引力表达式如下：$V_x=(1+C_{V_x}{\mathrm{\σ}}_{V_x})V_{x,N},V_y=(1+C_{V_y}{\mathrm{\σ}}_{V_y})V_{y,N},V_z=(1+C_{V_z}{\mathrm{\σ}}_{V_z})V_{z,N}---\left(5\right)$其中和为正态分布，和为标准差；V_x,N,V_y,N和V_z,N为当前位置的引力标称值；三轴的随机过程噪声表达为：$W_x=C_{V_x}{\mathrm{\σ}}_{V_x}\·V_{x,N}+\frac{{\mathrm{\δ}}_{T_x}}{m_N},W_y=C_{V_y}{\mathrm{\σ}}_{V_y}\·V_{y,N}+\frac{{\mathrm{\δ}}_{T_y}}{m_N},W_z=C_{V_z}{\mathrm{\σ}}_{V_z}\·V_{z,N}+\frac{{\mathrm{\δ}}_{T_z}}{m_N}---\left(6\right)$则x轴方向的随机过程噪声方差为：$Var\left(W_x\right)={({\mathrm{\σ}}_{V_x}\·V_{x,N})}^2+\frac{Var\left({\mathrm{\δ}}_{T_x}\right)}{{m_N}^2}---\left(7\right)$同理，y和z轴方向的随机过程噪声方差表达为如下形式：$\left\{\begin{array}{c}Var\left(W_y\right)={({\mathrm{\σ}}_{V_y}\·V_{y,N})}^2+\frac{Var\left({\mathrm{\δ}}_{T_y}\right)}{{m_N}^2}\\ Var\left(W_z\right)={({\mathrm{\σ}}_{V_z}\·V_{z,N})}^2+\frac{Var\left({\mathrm{\δ}}_{T_z}\right)}{{m_N}^2}\end{array}\right.---\left(8\right)$则随机状态方程表达为如下形式：${\stackrel{\·}{X}}_a=f(X_a,T,t)+W---\left(9\right)$其中X_a＝[X ω]^T，T＝[T_x T_y T_z]^T，W＝[0 0 0 W_x W_y W_z 0 0]^T，t表示时间；步骤三、构建闭环协方差性能指标随机状态方程(即公式9)的雅克比行列式表达为如下形式：$G=\frac{\∂f}{\∂X_a}+\frac{\∂f}{\∂T}\·\mathrm{\η}\·K---\left(10\right)$其中，和分别为状态方程对参数和控制量的偏导数，K为采用LQR设计的控制增益，η(t)有利于生成的控制量不沿最大‑最小边界，从而具有更好的抗差能力；则闭环的线性协方差通过下式递推：$\stackrel{\·}{P}=GP+{\mathrm{PG}}^T+R---\left(11\right)$其中，P为线性协方差矩阵，R为随机状态方程随机过程噪声的功率谱密度，通过公式(12)求得；式(11)与步骤二的随机过程噪声有如下关系：Var(W(t)·W^T(τ))＝R·δ(t‑τ)            (12)闭环协方差性能指标为：$J_1={\∫}_{t_0}^{t_f}\underset{i=1}{\overset{6}{\Σ}}\{c_i\·\sqrt{\underset{j=1}{\overset{M}{\Σ}}P\left(i,j\right)}\}dt,c_i\≥0---\left(13\right)$M为不确定的参数向量α的个数，P(i,j)为P矩阵的第(i,j)个元素，c_i,i＝1,...,6用于平衡位置和速度的权重，t₀、t_f分别为起始和末端时刻。闭环协方差性能指标包含了所有参数不确定性对着陆过程的影响；则总的性能指标写成如下形式：$J=\underset{T}{min}(J_0+c_0\·J_1)---\left(15\right)$其中J₀＝‑m(t_f)，c₀≥0为罚项系数；通过优化性能指标J，则生成的最优轨迹能在减少燃料消耗的同时降低轨迹的着陆误差；步骤四、以步骤三所得的J为性能指标进行轨迹优化。