[发明专利]一种基于扩展核递归最大相关熵准则的系统状态自适应估计方法

摘要

本发明属于自适应信号处理技术领域，提供一种基于扩展核递归最大相关熵准则的自适应系统状态估计方法，该方法能够在非高斯噪声条件下，对缓慢时变的非线性系统的状态进行估计和跟踪。该方法包括：1)提出适合于刻画非线性、缓慢时变的系统的数学模型与基于最大相关熵准则的代价函数；2)在再生核希尔伯特空间中，对系统状态进行迭代；3)利用核技巧，在输入空间中对系统状态进行迭代求解，实现系统状态的自适应估计。实验证明本发明算法性能良好，在真实的工程应用中，具有较好的应用前景。

主权项

一种基于扩展核递归最大相关熵准则的系统状态自适应估计方法，其特征在于，包括以下步骤：第一步，得到系统的数学模型和代价函数1)用公式(1)状态方程和公式(2)观测方程表示系统的数学模型，数学模型适合于刻画非线性、缓慢时变的系统；$\tilde{x}\left(n\right)=A\tilde{x}(n-1)+{\tilde{n}}_1\left(n\right)---\left(1\right)$$\tilde{d}\left(n\right)=h\left(\tilde{u}\right(n),\tilde{x}(n\left)\right)+{\tilde{n}}_2\left(n\right)---\left(2\right)$其中，是系统的状态，A是状态变化矩阵，系统的输入，是系统的输出，是状态噪声，是观测噪声，h表示与输入和系统状态有关的非线性变换；2)针对具体应用，选择状态转移矩阵，将数学模型具体化，具体化后的数学模型为：x(n)＝ηx(n‑1)+n₁(n)   (3)其中，η取值0.9999或者更接近1，表示系统转移参数；表示对输入信号的非线性变换，该非线性变换是未知和非显式的；在上述具体化后的模型中，公式(3)、公式(4)中没有“～”号的各变量和向量表示的物理含义与公式(1)、(2)中有“～”号的物理含义相同；3)针对具体化后的数模模型，基于最大相关熵原则，得到公式(5)所示的代价函数；s.t.x(m)＝ηx(m‑1)+n₁(m)   (5)其中，κ表示满足Mercer条件的核函数，通常选用高斯核函数表示，高斯核函数的定义为：${\mathrm{\κ}}_{\mathrm{\σ}}\left(e\right(m\left)\right)=\exp (-e^2(m)/2{\mathrm{\σ}}^2)/\sqrt{2\mathrm{\π}}\mathrm{\σ}---\left(6\right)$其中，x(m)表示观测误差，σ表示核长；将公式(5)转化为下述等价关系：s.t.x(m)＝ηx(m‑1)+n₁(m)   (7)为提升方法的鲁棒性，将公式(7)改写为：s.t.x(m)＝ηx(m‑1)+n₁(m)   (8)其中，λ表示遗忘因子，是正则化因子，q是状态噪声和观测噪声的能量之比；第二步，在由高斯核函数所引入的再生核希尔伯特空间中，对系统状态进行迭代；1)设定初始条件；在m＝0时，设x(0)＝0，P(0)＝I；2)当迭代开始后，即m≥1时，按照公式计算当前步骤下输出信号与期望信号间的观测误差e(m)；3)根据公式计算得到当前步骤下的增益k(m)；其中：$\hat{r}\left(m\right)=r\left(m\right){\mathrm{\κ}}_{\mathrm{\σ}}^{-1}\left(e\right(m\left)\right)---\left(10\right)$4)根据公式x(m)＝ηx(m‑1)+k(m)e(m)更新当前的系统状态；5)根据公式更新状态误差的相关矩阵，并按照步骤2)、步骤3)、步骤4)、步骤5)的重新开始下一次迭代；第三步，利用核技巧，在u(n)所在的输入空间中对系统状态x(n)进行迭代求解，实现系统状态的自适应估计；1)设定初始条件；在m＝1时，设：$a\left(1\right)=\frac{\mathrm{\η}d\left(1\right)}{\mathrm{\λ}\widetilde{\mathrm{\λ}}+{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{\σ}}\left(u\right(1),u(1\left)\right)}---\left(11\right)$$\mathrm{\ρ}\left(1\right)={\mathrm{\η}}^2{\widetilde{\mathrm{\λ}}}^{-1}+\mathrm{\λ}q---\left(12\right)$$Q\left(1\right)=\frac{{\mathrm{\η}}^2{\widetilde{\mathrm{\λ}}}^{-1}}{\mathrm{\λ}\widetilde{\mathrm{\λ}}+{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{\σ}}\left(u\right(1),u(1\left)\right)}---\left(13\right)$其中，a(m)，ρ(m)，Q(m)表示中间变量，向量或矩阵；2)按照如下公式计算当前步骤下输出信号与期望信号的误差：h(m)＝[κ_σ(u(m),u(1)),…,κ_σ(u(m),u(m‑1))]^T   (14)z(m)＝Q(m‑1)h(m)   (15)e(m)＝d(m)‑h(m)^Ta(m‑1)   (16)其中，h(m)表示由高斯核函数组成的向量，z(m)是中间向量；3)根据如下公式对系统当前状态进行更新：r(m)＝λⁿ+κ_σ(e(m))ρ(m‑1)κ_σ(u(m),u(m‑1))‑h^T(m)z(m)   (17)$\hat{r}\left(m\right)=r\left(m\right){\mathrm{\κ}}_{\mathrm{\σ}}^{-1}\left(e\right(m\left)\right)---\left(10\right)$$a\left(m\right)=\mathrm{\η}\left[\begin{array}{c}a(m-1)-z\left(m\right){\hat{r}}^{-1}\left(m\right)e\left(m\right)\\ \mathrm{\ρ}(m-1){\hat{r}}^{-1}\left(m\right)e\left(m\right)\end{array}\right]---\left(18\right)$x(m)＝H(m)a(m)   (19)其中，是由映射后的输入组成的向量；4)对其他变量、矩阵按照公式(20)、公式(21)进行更新，并继续进行迭代直到结束。ρ(m)＝η²ρ(m‑1)+λ^mq   (20)$Q\left(m\right)={\mathrm{\η}}^2{\tilde{r}}^{-1}\left(m\right)\left[\begin{array}{cc}Q(m-1)\tilde{r}\left(m\right)+z\left(m\right)z^T\left(m\right)& -\mathrm{\ρ}(m-1)z\left(m\right)\\ -\mathrm{\ρ}(m-1)z^T\left(m\right)& {\mathrm{\ρ}}^2(m-1)\end{array}\right]---\left(21\right)$