[发明专利]在Laplace-Beltrami形状空间基于样例的弹性材料的实时仿真方法

摘要

一种在Laplace‑Beltrami形状空间基于样例的弹性材料的实时仿真的方法，其内容是：利用Laplace‑Beltrami算子以及线性有限元离散化方法计算仿真物体和样例在三维四面体网格上的特征函数和特征值；将样例的特征函数和仿真物体的特征函数进行配准；将仿真物体的位置投影到Laplace‑Beltrami形状空间，利用非线性形状插值求解样例流行上的目标形状；在当前时刻每个顶点上建立局部坐标系添加形状细节的方式得到欧氏空间下的最终形变结果；在模态基底构建的降维子空间求解非惯性系下形变体仿真动力学方程，得到新一时刻降维空间下的位移；降维空间下的位移利用预处理过程中计算的全局与降维空间下的投影矩阵，投影得到全局中的位移，并绘制形变结果。

主权项

1.一种在Laplace‑Beltrami形状空间基于样例的弹性材料的实时仿真方法，其特征在于：该方法包括预处理步骤和仿真步骤：一、预处理步骤包括如下内容：1.1在传统方法中，利用Laplace‑Beltrami算子计算的是仿真物体表面网格上的特征函数，导致在仿真过程中，需要将表面网格与体网格上的数据作投影，产生时间损耗；利用Laplace‑Beltrami算子以及线性有限元离散化方法，直接计算仿真物体和样例在三维四面体网格上的特征函数和特征值，从而提高了仿真的效率， 在体网格上计算的特征函数表示为特征值对应的特征向量，将这些特征函数归一化；在预处理过程中求仿真物体和样例的特征函数过程是：将物体的空间结构采用四面体网格离散化方式描述，并利用线性有限元形函数计算体网格上的特征值和特征向量，求得的特征值由小到大排列，并利用归一化后的特征向量张成的形状空间作为形状插值的计算空间；利用Laplace‑Beltrami算子在体上求解特征函数的方法；利用“Shape‑DNA”方法对Laplace‑Beltrami特征函数的定义及求解方法，具体地，Laplace‑Beltrami算子是定义在黎曼紧致流行上的二次可微实函数：Δf:＝div(grad f)其中，grad和div分别为相应的黎曼度量下定义的梯度算子和散度算子；Laplace‑Beltrami算子的特征函数f与特征值λ统称为该算子的特征谱，定义为Helmholtz公式，又称为Laplacian特征值问题：Δf＝λf采用四面体网格计算物体的特征函数，定义f∈C²表示一个黎曼流行M上的实函数，函数g和f定义方式相同，Nabla算子和Laplace‑Beltrami算子定义为：Δf:＝div(grad f)其中＜,＞表示内积；给定一个局部参数化映射：ψ:Rⁿ→R^n+k是黎曼流行R^n+k上的子流形：其中，G表示g的矩阵形式，det表示G的行列式；在求解特征函数的计算过程中，首先要把Laplace‑Beltrami算子的特征值求解问题转化为变分问题，利用Green公式，边界条件采用其中Nabla算子表示为：用试函数乘以Helmholtz公式，得到3D空间下的表示：其中，dσ＝Wdudvdω；对于任意一个四面体T上顶点p₁,p₂,p₃,p₄，形函数选择一阶有限元线性形函数，将任意四面体所在的欧氏坐标系转换为正四面体的标准坐标系，则四面体内的向量表示为：P(ξ,η,ζ)＝p₁+(p₂‑p₁)ξ+(p₃‑p₁)η+(p₄‑p₁)ξ＝p₁N₁+p₂N₂+p₃N₃+p₄N₄其中，ξ,η,ζ表示转换到标准坐标系的三个坐标方向,N_i表示形函数；所述Laplace‑Beltrami算子在体上的特征函数求解转化为求解一个广义特征值问题，AU＝λBU；其中，B＝(b_lm):＝∫∫∫N_lN_mdσ1.2将样例的特征函数和仿真物体的特征函数进行配准，通过指定对应区域，使得仿真物体与样例之间具有相同的特征函数排序；1.3将样例形状和仿真物体投影到各自的特征函数上，得到对应的在Laplace‑Beltrami形状空间中的形状描述；1.4利用模态分析方法，求得仿真物体非线性的模态基底作为全局坐标与降维空间下的投影矩阵；并将模态基底作为输入，利用准静态仿真方法，预先求得仿真过程中计算形变能量以及内力的局部的优化积分单元及对应的权重；模态分析的降维仿真方法只适用于Stvk材质，因为Stvk材质的内力可以表示成位移的三次多项式形式，多项式的系数可以在预计算的过程中求解，不占用仿真时间；然而其他材质的内力求解并不具有这一特性，优化积分单元的加速仿真方法弥补了这一不足，将内力表示为优化的积分单元在降维下的力的加权求和的形式；同时，这种方式在时间复杂度上是O(r³)，而模态分析方法的时间复杂度O(r⁴)，在效率上也有所提高，采用这种优化的积分方法来计算内力和形变能量提高效率；优化的积分方法求内力，从能量的角度考虑，对于降维基底构建的子空间下的位移q，形变能量表示为：W(q)＝∫_ΩΨ(X,q)dΩ_X其中，Ψ(X,q)是未形变区域Ω上物质点X的非负的应变能量密度；降维空间下的内力表示成能量的梯度的积分形式：其中表示降维空间下的力密度；降维空间下的内力近似表示成n个积分单元加权求和的形式：其中ω_i表示第i个积分单元上对应的权重；利用一个贪心算法逐渐的增加积分单元采样点，通过计算训练集合(q,f(q))，在外力作用下，给定物质的内力与积分单元上的力加权求和所获得结果的误差最小的近似的积分单元及其权重表示，通过此方法计算得到的积分单元和对应权重在降维子空间下计算仿真过程中的形变能量；二、仿真步骤包括如下内容：2.1将仿真物体的位置投影到Laplace‑Beltrami形状空间，利用非线性形状插值求解样例流行上的目标形状，求解目标形状的过程包括两个部分：a.首先计算用于求解目标形状所需要的各个样例的权重；b.利用计算得出的权重求解目标形状；即在Laplace‑Beltrami形状空间通过非线性插值求解一个目标插值形状，优化过程是求使得仿真物体在样例流行上的形状相对于所有样例形变能量的加权之和最小的形状；为加快求解形变能量的过程，利用特征函数以及模态基底，在预处理过程中建立Laplace‑Beltrami形状空间与模态基底子空间的联系，直接将Laplace‑Beltrami形状空间投影到模态降维子空间，省略每个时间步从Laplace‑Beltrami形状空间投影到欧氏空间，再投影到模态降维子空间的过程，并利用不局限于材质模型，局部的优化积分单元代替全局的单元近似求解能量和能量梯度的方法；2.2获得Laplace‑Beltrami形状空间中的目标形状后，利用特征函数投影得到欧氏空间下的形状，该形状只包含整体信息，缺失局部信息，根据上一时刻的形变结果在特征函数上的投影前后的向量差构建细节向量，在当前时刻每个顶点上建立局部坐标系添加形状细节的方式得到欧氏空间下的最终形变结果；2.3在模态基底构建的降维子空间求解非惯性系下形变体仿真动力学方程，得到新一时刻降维空间下的位移；2.4利用刚体运动方程计算刚性运动部分，弥补降维仿真方法中，降维基底不能模拟刚性运动的不足；2.5降维空间下的位移利用预处理过程中计算的全局与降维空间下的投影矩阵，投影得到全局中的位移，并绘制形变结果。