[发明专利]基于绝对节点坐标法的绳系运输系统的动力学分析方法

摘要

基于绝对节点坐标法的绳系运输系统的动力学分析方法，步骤如下：一、系统假设如下：(1)地球的重力场是均匀的；(2)位于系绳两端的卫星可以被认为是质点；(3)忽略系绳的截面形变将系绳当作一维的梁；(4)所有运动发生在轨道平面；二、基于绝对节点坐标法进行系统动力学建模；三、用拉格朗日即Lagrange乘子方法推导系统动力学方程；四、动力学解算；通过以上步骤，结合仿真结果对本发明所设计的基于绝对节点坐标法的绳系运输系统的动力学分析方法效果进行分析，验证了本方法的计算精确的效果，得到了绳系运输系统的真实动力学响应。

主权项

基于绝对节点坐标法的绳系运输系统的动力学分析方法，其特征在于：具体步骤如下：步骤一、系统假设所谓的绳系运输系统包括两颗卫星位于系绳两端和一个在系绳上运动的运输舱；需要认为系绳细而轻，这样系绳才能在受力的时候产生较大的形变；为了简化处理，仅考虑轨道平面内的运动，忽略系绳的面外运动和其他的轨道平面外的运动；为了突出重点问题并简化运动方程，做如下假设：(1)地球的重力场是均匀的；(2)位于系绳两端的卫星被认为是质点；(3)忽略系绳的截面形变将系绳当作一维的梁；(4)所有运动发生在轨道平面；步骤二、基于绝对节点坐标法进行系统动力学建模首先定义绝对斜率和绝对位移作为绝对节点坐标法中的节点坐标，并设计包含整体刚体模态的全局形状函数；变形体中的任一点的位置向量描述为r＝Se   (1)其中S是基于点初始位形的x轴坐标的全局形状函数；如果分解到相应的轴的位移场被假定为一个三次多项式，则平面梁的单元节点坐标矢量e选择为ej=r1r2∂r1/∂x∂r2/∂xT,j=A,B---(2)]]>其相应的形函数为S＝[S1I S2I S3I S4I]   (2)其中I是一个2×2的单位矩阵，Sj(j＝1,2,3,4)被表示为S1＝1‑3ξ2+2ξ3,S2＝l(ξ‑2ξ2+ξ3),S3＝3ξ2‑2ξ3,S4＝l(ξ3‑ξ2)   (3)其中ξ是被选取点的无量纲坐标，定义为ξ＝x/l   (4)式中l为单元长度；相比于轨道的半径，系绳的长度是很短的；因此，需要选取合理的坐标系统来减少数值误差；地心惯性系的选择如下：原点位于地球中心，其中II坐标轴指向卫星1的初始位置而坐标轴I在轨道平面内指向运动的方向；用于采用绝对节点坐标法进行分析的轨道坐标系各轴总是平行于惯性系，其中Y坐标轴方向向上而X轴指向运动的前进方向；它的坐标原点位于相对于惯性系位置向量为Ra的卫星1的中心，并以轨道角速度ω0的恒定角速度运动；使用上述形函数，将系绳的质量矩阵表示为Mt＝∫VρSTSdV   (5)因为卫星1和2都在系绳上，所以没有必要将它们的质量从系绳的质量矩阵分开并加上卫星位置的约束；来源于卫星1和2的质量矩阵的增量表示为M1＝m1S(0)TS(0)   (6)M2＝m2S(l)TS(l)   (7)所以相对于绝对节点坐标包含卫星1和2和系绳的整个系统的质量矩阵表示为Ma＝Mt+M1+M2   (8)运动质量块mm的瞬时位置总是在系绳上，所以其位矢rm表示为rm＝S(xm)e   (9)式中：xm为运输舱在系绳上的坐标，S是基于点初始位形的x轴坐标的全局形状函数，e是平面梁的单元节点坐标矢量；运输舱在系绳上的坐标xm用于与系绳上相应固定点进行区分，因为xm是一个随时间变化的量；所以运动质量的速度矢量为r·m=S(xm)e·+∂S∂xmx·me=[S(xm)∂S∂xme]e·x·m---(10)]]>由此，动能T表示为T=12e·x·mTS(xm)∂S∂xmeTmm[S(xm)∂S∂xme]e·x·m---(11)]]>式中：为形函数S对xm的偏导数；相对于位置坐标[eT xm]T的运输舱的质量矩阵Mm写作Mm=mmS(xm)∂S∂xmeT[S(xm)∂S∂xme]---(12)]]>式中：xm为运输舱在系绳上的坐标，S是基于点初始位形的x轴坐标的全局形状函数，e是平面梁的单元节点坐标矢量，为形函数S对xm的偏导数；同时得到相对于广义坐标q＝[eT xm]T的全系统质量矩阵MM=Ma000+Mm---(13)]]>为了计算广义弹性力，对单元采用线性弹性假设，得到应变能U的表达式为U=12∫01(Ea(∂ul∂x)2+EI(∂2ut∂x2)2)dx---(14)]]>其中E是弹性模量，a是横截面积，I是面积二次矩；ul为单元纵向变形，ut为单元横向变形；因此，以弹性势梯度表示的弹性力表示为QK=-∂U∂e---(15)]]>对于广义重力的计算，通过虚功原理得到；在轨道坐标系内重力对系绳上每一点所做的虚元功δWgt为δWgt=-μρdV|Ra+Se|3(Ra+Se)TSδe---(16)]]>式中：Ra为主星位置矢量，μ为地球引力常数，ρ为系绳密度，dV为系绳微元的体积；由此得到整个系绳相对于绝对节点坐标的单元广义重力Qgt表达式Qgt=-∫VμρST(Ra+Se)|Ra+Se|3dV=-∫0lμρaST(Ra+Se)|Ra+Se|3dx---(17)]]>式中：S是基于点初始位形的x轴坐标的全局形状函数，e是平面梁的单元节点坐标矢量，μ为地球引力常数，ρ为系绳密度，dV为系绳微元的体积；很明显，系绳的广义重力与当前的系绳构形相关，它指出了动力学解算过程中需要逐步求解线性积分；需要注意的是，在动力学方程的解算中加入数值积分的运算将非常耗时；加速计算的一个可行的方法是将系绳分成有限多段，并假设每段所受的广义重力等同于与系绳段相同质量的质点的广义重力；代表每段系绳的质点的位置位于各段中心，然后将每段系绳所受的广义重力求和作为系绳的广义重力代入动力学方程，即Qgt≈Σi=1nQgti---(18)]]>其中n是总段数，Qgti是第i段的广义重力；n的值越大，广义重力的计算就越精确；为了得到Qgti，首先应当计算简化后的质点的质量和位置，通过公式mti＝ρal/n前者很容易得到，而后者表示为rti=S(2i-12nl)e,i=1,2,...n---(19)]]>由此，Qgti表示为Qgti=μmti(Ra+rti)∫(i-1)l/nil/nSTdx|Ra+rti|3,i=1,2,...n---(20)]]>式中：Ra为主星位置矢量，S是基于点初始位形的x轴坐标的全局形状函数，μ为地球引力常数；经过这样的简化，上式中的定积分在进行解算前只计算一次以节省时间；虽然这种做法是实际物理过程的近似，但仍然包含了重力梯度的重力影响因素；对于卫星1或2，用e表示的广义重力Qgj为Qgj=μmjSjT(Ra+Sje)|Ra+Sje|3,j=1,2---(21)]]>式中：Ra为主星位置矢量，mj代表所对应卫星的质量；对于运输舱，重力所做的虚功δWgm为δWgm=-μmm|Ra+Sme|3(Ra+Sme)T[Sm∂S∂xme]δeδxm---(22)]]>式中：xm为运输舱在系绳上的坐标，S是基于点初始位形的x轴坐标的全局形状函数，e是平面梁的单元节点坐标矢量，μ为地球引力常数；所以相对于q＝[eT xm]T的运输舱的广义重力Qgm为Qgm=μmmSm∂S∂xmeT(Ra+Sme)|Ra+Sme|3---(23)]]>式中：Ra为主星位置矢量，S是基于点初始位形的x轴坐标的全局形状函数，e是平面梁的单元节点坐标矢量，μ为地球引力常数；所以基于所选择的广义坐标q的系统的总的广义重力Qg为Qg=Qgt+ΣQgj0+Qgm---(24)]]>式中：Qgm为相对于q＝[eT xm]T的运输舱的广义重力；根据选取轨道坐标系的方法，导致系统所受惯性力Qi为Qi=Qit+ΣQij0+Qim---(25)]]>其中Qit=∫VμρSTRa|Ra|3dV---(26)]]>Qij=μmjSTRa|Ra|3,j=1,2---(27)]]>Qim=μmmSm∂S∂xmeTRa|Ra|3---(28)]]>式中：Qit，Qij，Qim分别为系绳、两端卫星和运输舱所受惯性力；运动的运输舱和系绳之间的非完整约束由相对速度vr表示；相对速度vr的方向沿着当前位置系绳的切线；运输舱的绝对速度使用位置向量的时间导数与相对运动关系两种方式得到r·m=Se·+∂S∂xmx·me=Se·+∂S∂xme|∂S∂xme|vr---(29)]]>式中：S是基于点初始位形的x轴坐标的全局形状函数，e是平面梁的单元节点坐标矢量，vr是运动的运输舱和系绳之间的非完整约束由相对速度；所以求得运输舱在系绳上当前位置的时间导数为x·m=vr|∂S∂xme|---(30)]]>得到xm的二阶导数x··m=-vr|∂S∂xme|-3(∂S∂xme)T(∂S∂xme·+∂2S∂xm2x·me)+v·r|∂S∂xme|-1---(31)]]>式中：S是基于点初始位形的x轴坐标的全局形状函数，e是平面梁的单元节点坐标矢量，vr是运动的运输舱和系绳之间的非完整约束由相对速度，为形函数S对xm的偏导数；将等式(32)重新表示为Cqe··x··m=Qc---(32)]]>其中Cq＝[0 1]，Qc是等式(32)的余项；综上所述，本步骤二所述的“绝对节点坐标法进行系统动力学建模”，规纳总结如下：先对所采用的坐标系进行定义，对系统采用绝对节点坐标法进行建模，得到其对应于广义坐标的质量阵；然后求出重力、弹性力和惯性力的广义力表达式；最后建立约束方程；步骤三、用拉格朗日即Lagrange乘子方法推导系统动力学方程在建立动力学方程时，使用Lagrange乘子方法推导由一个系绳、2个视作质点的卫星和一个运输舱组成的整个系统的动力学方程；Lagrange乘子方法既适用于完整系统，也适用于非完整系统；MCqTCq0q··λ=QeQc---(33)]]>其中Qe＝Qg+Qk+Qi对于一个绳系运输系统，系绳长度可能很长并且卫星的质量会很大；因此在动力学方程中有必要对位置和质量进行归一化；选择如下无量纲单元形函数S^=[S1IS2I/lS3IS4I/l]---(34)]]>式中：I是单位矩阵，l为单元长度；由此无量纲绝对节点坐标表示为e^j=r1/lr2/l∂r1/∂x∂r2/∂xT,j=A,B---(35)]]>式中：r1和r2为卫星1和2的位置矢量，l为单元长度；同样运输舱在系绳上当前位置xm应该除以系绳长度；ξm＝xm/l   (36)式中：ξm是被选取点的无量纲坐标，l为单元长度；同样的方法也适用于质量维度，从而最终得到的运动方程M*C^qTC^q0q^··λ^=Q*eQ^c---(37)]]>式中：M*，Q*e分别为无量纲质量阵，无量纲广义坐标和无量纲广义力；为无量纲约束方程中的相关项；步骤四、动力学解算本发明数值仿真软件的编写平台为矩阵实验室即Matlab平台，Matlab系列产品在航天工程领域已经得到了非常广泛的应用，被证明是在动力学和控制相关问题研制开发过程中十分可靠的数值仿真软件；对于可能的运动过程，主要分为子星在上和子星在下的两种情况；设定系绳全长L；相对较重的主星位置矢量Ra，质量为m1；系绳另一端的子星的质量设为m2，而系绳上的运输舱的质量为mm；给出系绳的材料和几何属性,包括长度、横截面积、密度、杨氏模量；并且在情况1和2中，系绳在开始时都处于非变形状态；给出运输舱的运动方式，主要是相对于系绳的速度变化；如系绳速度达到设定值后保持不变，直到在释放运动中的运输舱和子卫星之间的系绳的长度及在回收运动中的运输舱和母船之间的系绳的长度小于所设定值如100米；再在Matlab平台上，根据步骤三所得的动力学方程编写此动力学方程的微分方程函数，即将动力学方程编为Matlab程序文件；得到此动力学方程的Matlab文件后，将上述所需参数的具体值代入，并选择合适的解微分方程的Matlab数值解程序，求解得到系统的动力学响应过程；本步骤四所述的“动力学解算”，归纳作法如下：选择合适的系统参数，如绳长、横截面积、弹性模量和轨道高度，然后给定运输舱的运动方式；根据系统动力学方程编写微分方程函数；将上述参数代入动力学方程并选择求微分方程数值解的函数进行解算，如使用四阶、五阶龙格‑库塔单步算法的数值解函数；通过以上步骤，结合仿真结果对本发明所设计的基于绝对节点坐标法的绳系运输系统的动力学分析方法效果进行分析，验证了本方法的计算精确的效果，得到了绳系运输系统的真实动力学响应。