[发明专利]基于概率边界系数法的最大熵分位值函数置信区间估计模型与方法

摘要

本发明提出基于概率边界系数法的最大熵分位值函数置信区间估计模型与方法，其包括步骤1)建立基于第k次序统计量分散系数法的最大熵分位值函数置信区间估计模型；2)将全体次序统计量边界系数视为服从某概率分布，结合最大熵分位值函数模型建立基于概率边界系数法的最大熵分位值函数置信区间估计模型与方法。本发明提出的基于概率边界系数法的最大熵分位值函数置信区间估计模型与方法能成功地应用于小样本情况下航空结构件可靠性分析中的分位值函数置信区间估计问题，相比现有的小样本模型及方法，本发明的分位值函数置信区间估计精度及稳定性均较高，提高了航空结构件可靠性评定置信水平。

主权项

基于概率边界系数法的最大熵分位值函数置信区间估计模型与方法，其特征在于，包括如下步骤：1)建立基于第k次序统计量分散系数法的最大熵分位值函数置信区间估计模型若X是一个连续随机变量，x为随机变量X的实现值，则其概率密度函数为f(x)，累积分布函数为F(x)，次序统计量表示为(X(1)≤X(2)≤…≤X(n))，则第k次序统计量X(k)的概率密度函数fk(x)为：fk(x)=n!(k-1)!(n-k)!(F(x))k-1(1-F(x))n-kf(x)---(1)]]>由式(1)推导出第k次序统计量X(k)的累积分布函数Fk(x)为：Fk(x)=∫-∞xn!(k-1)!(n-k)!(F(t))k-1(1-F(t))n-kf(t)dt=∫-∞xn!(k-1)!(n-k)!(F(t))k-1(1-F(t))n-kdF(t)=∫0F(x)n!(k-1)!(n-k)!sk-1(1-s)n-kds---(2)]]>定义第k次序统计量X(k)置信水平为γ的置信上限X(k)γ满足：P(X(k)<X(k)γ)＝γ                                                (3)令u(k)＝F(X(k)γ)，将式(3)代入式(2)，则u(k)由下式求出：∫0u(k)n!(k-1)!(n-k)!sk-1(1-s)n-kds=γ---(4)]]>在γ置信限下，随机变量X基于第k次序统计量的分位值估计表示为：X~(k)(γ,u)=x(k)SF(k,γ,u)---(5)]]>式中，u表示累积分布函数，x(k)表示随机变量X的第k次序统计量样本，SF(k,γ,u)表示分散系数，由下式确定：SF(k,γ,u)=X(k)γX(u)---(6)]]>式中，X(u)表示随机变量X的理论分位值函数；将式(6)代入式(5)，得到随机变量X在γ置信限下、基于第k次序统计量的分位值函数估计X~(k)(γ,u)=x(k)X(k)γX(u)---(7)]]>设随机变量X的理论分位值函数X(u)可根据随机样本值应用最大熵分位值函数模型近似确定，则理论分位值函数X(u)表示为：X(u)=exp(-Σj=0m(λqf,juj))---(8)]]>式中，λqf,j(j＝0,1,...,m)为拉格朗日乘子，m表示拉格朗日乘子阶数；将式(8)代入式(7)，同时考虑式(2)‑式(4)，则得到随机变量X基于次序样本(x(1)≤x(2)≤…≤x(n))，在γ置信限下、基于第k次序统计量的分位值函数估计X~(k)(γ,u)=x(k)X(k)γexp(-Σj=0m(λqf,juj))=x(k)exp(-Σj=0m(λqf,ju(k)j))exp(-Σj=0m(λqf,juj))---(9)]]>式中，当γ>0.5时，为γ置信下限的分位值函数；当γ<0.5，为(1‑γ)置信上限分位值函数；u(k)由式(4)确定；式(9)为基于第k次序统计量分散系数法的最大熵分位值函数置信区间估计模型；2)建立基于概率边界系数法的最大熵分位值函数置信区间估计模型基于式(9)，定义B(k)(γ)为第k次序统计量、置信度为γ的边界系数：B(k)(γ)=x(k)exp(-Σj=0m(λqf,ju(k)j))---(10)]]>则式(9)为：X~(k)(γ,u)=B(k)(γ)exp(-Σj=0m(λqf,juj))---(11)]]>B(k)(γ)由统计量次序及样本值决定，且各个次序统计量边界系数不相等；将置信度为γ的边界系数B(k)(γ)视为随机变量B′(γ)，各次序统计量边界系数B(k)(γ)为随机变量B′(γ)的样本值；则基于概率边界系数法的最大熵分位值函数置信区间估计模型为：X~B(γ,p,u)=B′(γ,p)exp(-Σj=0m(λqf,juj))---(12)]]>式(12)中，表示置信度为γ、累积分布函数值为u的分位值函数；B′(γ,p)为随机变量B′(γ)可靠度为p的分位值。