[发明专利]基于截断多项式的对称全同态加密方法

摘要

本发明提出了一种基于截断多项式的对称全同态加密方法，用于解决现有对称全同态加密方法中存在的运行效率低的技术问题。实现步骤为：用户设置参数；获取对称密钥、同态计算公钥及明密文空间；对明文进行加密，得到二元密文多项式C(x,y)；对二元密文多项式C(x,y)进行解密，得到明文；云服务器采用RSA模数N，对密文多项式进行同态加法计算，得到加法同态密文，采用同态计算公钥，对密文多项式进行同态乘法计算，并通过二元截断多项式环对密文同态计算结果进行取模，得到乘法同态密文；用户采用私钥，对加法同态密文和乘法同态密文进行解密，得到对应的明文运算结果。

主权项

1.一种基于截断多项式的对称全同态加密方法，其特征包括如下步骤：(1)参数设置：用户根据自身安全需求设置安全参数k，其中，k≥1024；(2)用户获取对称密钥sk、同态计算公钥PK_H、明文空间M及密文空间C：(2.1)用户在安全参数k的控制下，随机生成k比特长的大素数p和q；(2.2)用户计算RSA模数N，N＝pq，并构造模N意义下的剩余类环作为明文空间M；(2.3)用户在剩余类环上均匀且随机选取两个整数a和b，令对称密钥sk＝(a,b)；(2.4)用户在剩余类环中均匀且随机选取8个整数a_i和b_i，i＝1,2,3,4，并由这些整数构造二元多项式f₁(x,y)和f₂(x,y)：f₁(x,y)＝x³+a₁xy+a₂x+a₃y+a₄，f₂(x,y)＝y³+b₁xy+b₂x+b₃y+b₄；(2.5)用户利用二元多项式f₁(x,y)和f₂(x,y)，计算含有公共根(a,b)的二元多项式g₁(x,y)和g₂(x,y)：g₁(x,y)≡f₁(x,y)‑f₁(a,b)(mod N)≡x³+a₁xy+a₂x+a₃y+a′₄(mod N)，g₂(x,y)≡f₂(x,y)‑f₂(a,b)(mod N)≡y³+b₁xy+b₂x+b₃y+b′₄(mod N)，其中，a′₄≡a₄‑f₁(a,b)(modN)和b₄′≡b₄‑f₂(a,b)(modN)分别为二元多项式g₁(x,y)、g₂(x,y)的常数项；(2.6)用户由二元多项式g₁(x,y)、g₂(x,y)和RSA模数N，构造同态计算公钥，PK_H＝(N,g₁(x,y),g₂(x,y))；(2.7)用户根据二元多项式g₁(x,y)、g₂(x,y)和RSA模数N，构造二元截断多项式环环中元素为关于变量x,y次数不超过2、系数属于剩余类环最多含有9项的二元多项式，并将其作为密文空间C，其中，为二元整系数多项式环；(3)用户对明文进行加密：(3.1)用户输入明文M∈M，对称密钥sk＝(a,b)；(3.2)用户在剩余类环上均匀且随机生成9个整数a_ij，并根据这些整数构造二元多项式其中，i,j＝0,1,2；(3.3)根据二元多项式f₃(x,y)，使用对称密钥sk计算二元多项式g₃(x,y)：其中，a′₀₀≡a₀₀‑f₃(a,b)(modN)为二元多项式g₃(x,y)的常数项；(3.4)对于明文M进行加密，得到密文多项式C(x,y)：C(x,y)≡g₃(x,y)+M(modN)；(4)用户对密文多项式C(x,y)进行解密：(4.1)对于密文多项式C(x,y)，用户输入对称密钥sk＝(a,b)；(4.2)用户使用对称密钥sk和RSA模数N，对密文多项式C(x,y)进行解密，得到明文M：(5)云服务器对密文进行同态运算：云服务器使用同态计算公钥PK_H，对密文空间C中任意两个关于变量x,y次数不超过2、系数属于剩余类环的二元密文多项式C₁(x,y)和C₂(x,y)进行同态加法运算和同态乘法运算，实现步骤为：(5.1)云服务器采用RSA模数N，对二元密文多项式C₁(x,y)和C₂(x,y)进行同态加法计算，得到属于密文空间C的二元密文多项式C₊(x,y)≡C₁(x,y)+C₂(x,y)(mod N)，并将其作为二元密文多项式C₁(x,y)和C₂(x,y)的加法同态密文；(5.2)云服务器采用同态计算公钥PK_H，对二元密文多项式C₁(x,y)和C₂(x,y)进行同态乘法计算，并通过二元截断多项式环对计算结果进行控制，得到属于密文空间C的二元密文多项式C_×(x,y)≡C₁(x,y)C₂(x,y)(mod N,g₁(x,y),g₂(x,y))，并将其作为二元密文多项式C₁(x,y)和C₂(x,y)的乘法同态密文；(6)用户对同态密文进行解密：用户使用对称密钥sk和RSA模数N对加法同态密文C₊(x,y)和乘法同态密文C_×(x,y)进行解密，得到明文进行相同计算的结果，实现步骤为：(6.1)用户采用对称密钥sk和RSA模数N，对加法同态密文C₊(x,y)进行解密，得到加法同态密文C₊(x,y)对应的明文M₊，M₊≡M₁+M₂(modN)，其中，解密公式为：M₊≡C₊(a,b)(mod N)；(6.2)用户采用对称密钥sk和RSA模数N对乘法同态密文C_×(x,y)进行解密，得到乘法同态密文C_×(x,y)对应的明文M_×≡M₁M₂(modN)，其中，解密公式为：M_×≡C_×(a,b)(mod N)。