[发明专利]基于体积分割求解多重积分的龙贝格改进算法

摘要

本发明公开了一种基于体积分割求解多重积分的龙贝格改进算法，首先详细地介绍了该新算法的理论，接着提出了用该算法求解定积分和无穷积分的具体步骤，最后利用了大量实例对该算法进行验证，并用多种求解数值积分方法与之比较，结果表明：该算法不管是求解定积分还是无穷积分收敛速度快，计算机运算时间短，计算一重积分迭代6次时积分误差减少到10‑12，计算多重积分迭代10次时积分误差能达到10‑14，接近真实值；通过与多种数值积分算法比较可知该算法明显优于这些算法，具有良好的实用性，并且该算法已被Forstat统计软件应用。本发明的有益效果是，能保证相当高的精确度，但对计算速度有一定的影响。

主权项

1.一种基于体积分割求解多重积分的龙贝格改进算法，其特征在于，该方法包括如下内容：A、一般定积分具体计算步骤：步骤1给定允许误差eps>0，k＝0，m＝0；步骤2把积分变量xi(i＝1···p)变为bi和ai是对应积分变量的上限和下限，使得积分式 ∫ a 1 b 1 ... ∫ a i b i f ( x ) dx i ... dx 1 ]]>变为步骤3计算初值 I ( 0 , 0 ) = Σ { f ( x * ) | x * ∈ B 2 k p } ]]>步骤4k＝k+1，n＝2k，计算 I n ( f ) = 1 2 p I n / 2 ( f ) + Σ r = 0 p - 1 ( 1 2 r ( n ) p Σ x ∈ D n r f ( x * ) ) ]]>步骤5如果k<m+1，返回第4步，否则m＝m+1 I ( k , m ) = I ( k - 1 , m ) - 0.25 m * I ( k , m - 1 ) 1 - 0.25 m ]]>步骤6判断收敛，如果||I(m,m)-I(m-1,m-1)||＞eps返回第4步，否则返回I(m,m)；B、无穷积分的具体计算步骤：和定积分一样，作适当的变量代换将无穷区间转化为上下限为(1，0)的标准积分式 ∫ 0 1 ... ∫ 0 1 f ( x * ) ( b i - a i ) ... ( b 1 - a 1 ) dx i * ... dx 1 * - - - ( 3.1 ) ]]>无穷积分有三种情况，分别为(1)上限为正无穷；(2)下限为负无穷；(3)上限为正无穷且下限为负无穷的积分；对于第一种情况，上限为正无穷时设t＝(x-a)/(1+x-a)，则 ∫ a ∞ f ( x ) d x = ∫ 0 1 f ( a + t 1 - t ) 1 ( 1 - t ) 2 d t ]]>令上式就转化为了标准形式(3.1)；同理对于第二种情况令则积分区间转化为(0，1)区间；对于第三种情况上限为正无穷，下限为负无穷时因为 ∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x = ∫ - ∞ 0 f ( x ) d x + ∫ 0 ∞ f ( x ) d x = ∫ 0 ∞ [ f ( - x ) + f ( x ) ] d x , ]]>令t＝x/(1-x)，故dx＝1/(1-t)2dt则 ∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x = ∫ 0 1 [ f ( - t 1 - t ) + f ( t 1 - t ) ] 1 ( 1 - t ) 2 d t ]]>同理，令上式就转化为了标准形式(3.1)；具体算法如下：步骤1给定允许误差eps>0，k＝0，m＝0，i＝1；步骤2判断第i重积分各上下限是否是无穷界，如果第i重积分只有上限为无穷界(∞)时转到步骤3，如果只有下限为无穷界(-∞)时转到步骤4，如果上限为正无穷(∞)且下限为负无穷(-∞)时转到步骤5；上下限都没有无穷界转到步骤6；步骤3把积分变量xi变为被积函数变为f(x*)；步骤4把积分变量xi变为被积函数变为f(x*)；步骤5把积分变量xi变为并且被积函数变为f(-x*)+f(x*)；步骤6把积分变量xi变为xi*＝ai+(bi-ai)xi，i＝i+1，并且被积函数变为f(x*)；步骤7如果i≤p转到步骤2，否则转到步骤8；步骤8计算初值步骤9k＝k+1，n＝2k，计算步骤10如果k<m+1，返回第9步，否则m＝m+1 I ( k , m ) = I ( k - 1 , m ) - 0.25 m * I ( k , m - 1 ) 1 - 0.25 m ; ]]>步骤11判断收敛，如果||I(m,m)-I(m-1,m-1)||＞eps返回第9步，否则返回I(m,m)。