[发明专利]一种非线性时滞动力系统的强稳定性模型

摘要

本发明涉及一种非线性时滞动力系统的强稳定性模型，所述模型以细胞外1，3‑丙二醇的浓度为性能指标，以非线性时滞动力系统、间歇发酵系统的近似稳定性、细胞内外物质浓度相对误差以及细胞内物质浓度的稳定性等为主要约束条件，构造了强稳定性模型。本发明建立了非线性时滞动力系统并把其转变为线性变分方程，构造了非线性问题线性化处理的方法，更好地求解了非线性时滞动力系统，提出了非线性时滞动力系统的强稳定性模型的条件，给出了强稳定性模型的存在性求解方法。

主权项

1.一种非线性时滞动力系统的强稳定性模型，其特征是：所述强稳定性模型在甘油间歇发酵产生1，3‑PD的整个时间区间R₊为一维非负实数空间，为8维的非负实数空间，为32维的非负实数空间，R⁴、R⁸、R¹²分别表示4维、8维和12维的实空间；t₀为初始时刻，t_f为阶段终止时刻；x₀∈R⁸表示实验阶段的初始状态，W₀为初始状态x₀∈R⁸的允许集合，为不同初始状态x₀∈W₀的解的集合，W_a为在某种状态a下的x_a∈R⁸的允许集合，为不同初始状态x_a∈W_a的解的集合；所述强稳定性模型的设计方法包括建立一个非线性时滞动力系统，所述非线性时滞动力系统简称为时滞系统，以下为设计步骤：第一步，确立如下的所述时滞系统：其中x(t)＝[x₁(t)，…，x₈(t)]^T∈R⁸为连续状态变量，简记为x，它的分量x₁(t)，…，x₈(t)分别表示在t∈[0，t_f]时刻发酵罐中的菌种、细胞外甘油、细胞外1，3‑PD、乙酸、细胞内甘油、细胞内三羟基丙酸(3‑HPA)和细胞内1，3‑PD的浓度。状态延迟向量定义为i＝3，6，7，8，是发酵的初始状态，φ(t)是定义在上、值域是R⁸上的已知的连续可微的初始函数，记作：即，xτ(t)：＝[x1(t)，x2(t)，x3(t‑τ3)，x4(t)，x5(t)，x6(t‑τ6)，x7(t‑τ7)，x8(t‑τ8)]T∈R8时滞变量τ∈R4非负有界，即因此所述时滞系统的右端项h(x，xτ，u)：＝[h1(x，xτ，u)，…，h8(x，xτ，u)]T的分量可写成如下形式其中，μ表示比生长速率，q2表示底物比消耗速率，UG和UP分别表示细胞内酶GDHt和PDOR在生物体外的比活性，具体表达式为其中，p1，…，p10为系统参数，u：＝[u1，…，u4]T∈R4为控制参数；第二步，构造时滞线性变分系统下面构造时滞线性变分系统，所述时滞线性变分系统简称为变分系统，所述时滞系统右端函数h(x，x_τ，u)关于x，x_τ有连续的偏导数，其解对应的所述变分系统进行如下表示：设x：＝x(t|0，x₀，φ)是以x₀∈W₀，φ(t)为初始条件，以τ∈T为时滞的所述时滞系统的解，则x(t|0，x₀，φ)关于t∈[0，t_f]，x₀∈W₀，是连续的，把所述时滞系统的解x(t|0，x₀，φ)∈W_a的集合记为，即设与z(t)+x(t|0，x₀，φ)分别是以为初始条件的所述时滞系统的解，即有依所述时滞系统的解可得到：从上式的后一等式可得：表示当||z(t)||，||z_τ(t)||充分小，趋于零，此时，上式变为如下形式的所述变分系统：t∈[0，t_f]，上式是所述时滞系统的解x(t)＝x(t|0，x0，φ)对应的所述变分系统；第三步，确定所述变分系统在整个区间上的基本矩阵解，首先选择整数m＞0，满足把区间[0，t_f]分割成m+1个子区间：依据所述时滞系统时滞性，分别在各自区间j∈I_m，I_m：＝1，2，…，m和上设计所述变分系统的基本矩阵解。下面分三种不同情况分别研究：(1)当j＝1时，即时，所述变分系统可表示为如下的非齐次线性方程：t∈[0，t_f]，t∈D₁，由于当t∈D₁时，为已知函数，上式右端第2项为已知函数，这样，上式是关于z(t)的所述非齐次线性系统，其对应的齐次线性方程为：t∈D₁其中，是所述齐次线性方程以初始条件为主矩阵解，其中I∈R^8×8为单位矩阵，R^8×8为64维实空间；所述非齐次线性系统在上的基本矩阵解为：其中e_i∈R⁸为单位阵I∈R^8×8的第i列，所述非齐次线性系统在上的终端处的状态为i∈I₈令Φ₁₈(t|0，x₀，φ)]∈R⁸×R⁸，为所述变分系统的基本矩阵解；(2)当j＝2时，即时，所述变分系统在上，依时滞性，时滞性z_τ(t)的值由的值确定；这样z_τ(t)在上的所述变分系统是关于z(t)的非齐次线性系统，求得在D₂上的所述变分系统的基本矩阵，即，令于是，可以得到所述变分系统在t∈D2上的基本矩阵解为其在D₂的终端时刻的状态为i∈I₈；(3)当3≤j≤m+1时，即依时滞性，在D_j上的所述变分系统是关于z(t)的非齐次线性系统，能得到所述变分系统在区间上的基本矩阵解，即：其中在区间Dj的终端状态为Φ_j‑1(t))，i∈I₈，j∈{3，4，…，m，m+1}，于是，可得到所述变分系统在整个区间上的基本矩阵解为：其中，指示函数为令Φ0(t)＝Φ0(t|0，x0，φ)＝[Φ0i(t|0，x0，φ)，Φ02(t|0，x0，φ)，…，Φ08(t|0，x0，φ)]∈R8×R8，则Φ0(t)是时滞的解x(t|0，x0，φ)对应的所述变分系统的基本矩阵解；设x(t|0，x₀，φ)与分别是以为初始条件的所述时滞系统的解，则，其中Φ₀(t|0，x₀+s(y₀‑x₀)，是以(0，x₀+s(y₀‑x₀)，为初始条件的所述时滞系统的解对应的所述变分系统的基本矩阵解；第四步，时滞系统的强稳定性间歇发酵酶催化时所述时滞系统关于初始状态扰动后动力系统的强稳定性定义为：设x(t|0，x₀，φ)是以为初始条件的所述时滞系统的解，若存在δ(ε)＞0，使得所述时滞系统的任意以为初始条件且满足||y₀‑x₀||＜δ(ε)，的解成立：t∈D₀，则称所述时滞系统的解x(t)＝x(t|0，x0，φ)是强稳定的。