[发明专利]一种变分贝叶斯的非线性卡尔曼滤波器的设计方法

摘要

本发明提供了一种变分贝叶斯的非线性卡尔曼滤波器的设计方法,涉及滤波器领域，本发明首先在高斯假设条件下构造逼近后验概率密度函数的变分分布，并以KL散度作为惩罚函数以实现状态估计的迭代逼近，继而根据变分贝叶斯框架以置信下界最大为目标函数推导出一种变分贝叶斯的非线性卡尔曼滤波器。本发明能够获得非线性状态后验概率密度函数更“紧”的逼近形式，从而提高状态估计精度，可以实现系统状态估计过程中后验概率密度函数积分的难以求解问题转化为优化ELBO下界的问题，并且将自适应加权的KL散度作为惩罚函数以提高优化的灵活性，从而改善状态估计精度，对于非线性状态估计理论和实际工程应用具有非常重要的意义。

主权项

1.一种变分贝叶斯的非线性卡尔曼滤波器的设计方法，其特征在于包括下述步骤：第一步：根据贝叶斯滤波理论获取非线性系统状态的估计值，并作为迭代初始值；详细步骤如下：步骤1.1：根据先验信息，状态演化信息和前一时刻的量测，计算状态预测，量测预测，状态预测误差协方差，量测预测误差协方差及状态预测与量测预测的交互协方差；在迭代优化的过程中，非线性贝叶斯滤波器作为内核滤波执行器为迭代优化提供初始值，非线性贝叶斯滤波器的方程如下：xk|k‑1＝fk(xk‑1)   (1)zk|k‑1＝h(xk|k‑1)   (2)Pk|k‑1＝E[(xk‑xk|k‑1)(xk‑xk|k‑1)T]   (3)Pk,xz＝E[(xk‑xk|k‑1)(zk‑zk|k‑1)T]   (4)Pk,zz＝E[(zk‑zk|k‑1)(zk‑zk|k‑1)T]   (5)其中，xk‑1表示k‑1时刻的状态值，xk|k‑1和zk|k‑1分别表示k‑1时刻到k时刻的状态预测值和量测预测值，fk(·)和hk(·)分别表示状态转移函数和量测函数，Pk|k‑1，Pk,xz和Pk,zz分别表示k‑1时刻到k时刻的状态预测误差协方差，状态预测与量测预测之间的交互误差协方差，量测预测误差协方差，E[·]表示求期望；步骤1.2：根据传感器当前时刻传感器量测信息zk和Kalman滤波的更新公式，计算滤波增益Kk，状态估计xk|k和状态估计误差协方差Pk|k：Kk＝Pk,xz(Pk,zz)‑1   (6)xk|k＝xk|k‑1+Kk(zk‑zk|k‑1)   (7)Pk|k＝Pk|k‑1‑KkPk,zzKkT   (8)第二步：根据变分贝叶斯框架和KL散度建立迭代优化函数详细步骤如下：步骤2.1：根据量测和状态之间的贝叶斯公式和Jensen不等式定理建立变分置信下界，并将置信下界作为目标函数；变分贝叶斯的置信下界为目标函数矩阵在以xk为隐变量和zk为观测变量的状态空间模型中，k时刻的边缘概率密度函数表示为：其中，p(z_k,x_k)＝p(z_k|x_k)p(x_k|x_k‑1)为k时刻的联合分布，p(x_k|x_k‑1)为从k‑1到k时刻是状态转移概率，定义其中，x_k|k和P_k|k分别表示待估计变量的状态估计及其误差协方差，公式(9)满足Jensen不等式定理，因此公式(9)可化为公式(10)：置信优化的下界定义为：其中，E_q[·]是的简化形式，p(x_k)和q(x_k|ψ_k)分别表示状态的真实分布和其变分分布，p(z_k|x_k)表示条件似然函数；最大化即实现将积分问题到优化问题的转化：步骤2.2：引入KL散度作为约束项其中，i表示迭代次数，β_i表示惩罚因子，表示变分分布q(x_k|ψ_k)和变分分布之间的KL散度；在高斯假设条件下，变分分布为假设k‑1时刻的状态估计后验概率密度函数已知因此公式(13)中第二项可进一步表示为：第三步：在变分分布条件下线性化迭代优化函数详细步骤如下：步骤3.1：在处线性化量测矩阵h_k(x_k)，以计算似然函数对数期望E_q[logp(z_k|x_k)]的一阶梯度和二阶梯度，进而根据泰勒公式线性化对数似然函数的期望E_q[logp(z_k|x_k)]，详细步骤如下：在高斯假设条件下对优化函数矩阵进行线性化，定义参数和分别为E_q[log p(z_k|x_k|k)]的一阶梯度和二阶梯度，则：根据Bonnet定理和Price定理，一阶梯度和二阶梯度可分别表示为：其中，公式(16)中表示迭代过程中新息的期望，本发明采用线性化近似和采样近似两种近似方法：1)当采用线性化近似的方法，则有：由公式(18)得到公式(19)：将公式(19)带入公式(13)中使用；2)若采用采样近似的方法，则有：由公式(20)得到公式(21)：将公式(21)带入公式(13)中；步骤3.2：在变分分布服从高斯分布的条件下，计算状态预测的概率密度函数和第i+1次变分分布之间的KL散度：假设维数为D的变量ξ₁服从均值为μ₁方差为C₁的高斯分布相同维数变量ξ₂服从均值为μ₂方差为C₂的高斯分布则两者的KL散度可化为如下形式：因此，第i次迭代的变分分布和第i+1次迭代变分分布之间的KL散度为：Dx表示服从高斯分布的变量x的维数；同理，公式(14)可化为：步骤3.3：结合公式(13)‑(15)和公式(23)‑(24)，优化函数矩阵可化为：第四步：将线性化后的迭代优化函数求偏导和计算状态估计和估计误差协方差，并由此设计卡尔曼滤波器，详细计算步骤如下：步骤4.1：将线性化后的迭代优化函数在处求偏导，分别计算Φ(x_k|k,P_k|k)对x_k|k和P_k|k的偏导矩阵：步骤4.2：令偏导等于0，以获取第i+1次迭代的状态估计其中bi＝1/(1+βi)；步骤4.3：将线性化后的迭代优化函数在处求偏导；步骤4.4：令偏导等于0，以获取第i+1次迭代的状态估计误差协方差第五步：第四步所设计的卡尔曼滤波器的自适应迭代终止条件如下：其中，ε为迭代终止门限。