[发明专利]一种线性高阶比例制导系统脱靶量的幂级数解

摘要

本发明公开一种线性高阶比例制导系统脱靶量的幂级数解，步骤一：高阶线性比例制导系统建模。步骤二：求解伴随系统的微分方程的幂级数解；包括求解幂级数解系数递推公式和幂级数收敛半径。步骤三：选择合适指数项衰减常数k。本发明优点在于：(1)推导了一般高阶比例制导系统脱靶量的幂级数解系数的递推关系；对于不同有效导引比、不同形式的高阶制导系统，幂级数解系数递推求解过程具有一致性。(2)求出了幂级数的收敛半径并给出了指数型衰减常数的选取方案；利用收敛幂级数的部分和可以得到脱靶量解析的、形式统一的逼近公式。(3)给出的幂级数解是脱靶量一种精确的解的形式，可用来研究脱靶量的性质以及寻找某些特殊条件下的解析解。

主权项

1.一种线性高阶比例制导系统脱靶量的幂级数解，其特征在于：其包括以下三个步骤：步骤一：线性高阶比例制导系统建模；伴随系统的微分方程为：其中，N为有效导引比，t表示剩余飞行时间或总的飞行时间；z1、z2、zu和ζ是伴随系统的状态量，其初值分别为z1(0)＝1、z2(0)＝0、zu(0)＝0和ζ(0)＝0，其中z1的初值为1是由伴随系统的脉冲输入转化而来；伴随系统的输出量，即脱靶量为其中，nT为目标机动水平大小，VM为导弹速度，θHE为导弹初始瞄准误差角；MnT表示目标阶跃机动引起的脱靶量，MHE表示导弹初始瞄准误差角引起的脱靶量；G(s)为表征制导系统动态特性的稳定传递函数，包含导引头动力学、噪声滤波、飞控系统等环节；通常G(s)可以表示成如下形式其中，Q为制导系统阶数，T为参考时间常数或总制导系统时间常数，λq(q＝0,1,...Q)是多项式系数；进一步，将伴随系统的微分方程进行无量纲化，以得到归一化的脱靶量便于应用；引入如下无量纲变量，将伴随系统的状态量、脱靶量以及时间变量转化为无量纲和归一化变量：传递函数替换为：步骤二：求解伴随系统的微分方程的幂级数解；包括求解幂级数解系数递推公式和幂级数收敛半径；(一)幂级数解的系数递推公式假设无量纲方程有如下形式的幂级数解其中，an、bn、cn、dn分别为各级数的待定系数，e表示自然指数，参数k表示指数项衰减常数，可用来调节幂级数解整体收敛速度；注意ζ的级数解中含有tQ项，这是因为关于ζ动态是由传递函数G(s)来描述的，等价于如下微分方程其中ζ(q)表示变量ζ的q阶导数；利用关于时间多项式各次幂的系数相等，并结合伴随系统的微分方程的状态初值，可以得到如下递推关系当n≥1时，其中这里Bn和Pn都是中间变量，用于简化表达式书写；A和C及其上下标表示排列数和组合数；cn和dn分别是归一化脱靶量MHE和MnT幂级数的系数；(二)幂级数解的收敛半径首先，求k＝0时，幂级数的收敛半径，其中a_n,0代表k＝0时幂级数系数a_n的值；记状态向量X＝[ζ ζ(1) ζ(2) … ζ(Q‑1) z1]T则伴随系统的微分方程可以写成如下状态空间描述其中式中，OQ×1，OQ×Q，O1×Q分别代表Q行1列，Q行Q列，1行Q列的零矩阵；以及状态初值X(0)＝[0 0 0 … 0 1]T显然，矩阵R的特征值只有0，任何正整数都不是R的特征值；函数矩阵A(t)是常值矩阵，在t＝0处是解析的，而且其幂级数展开收敛半径为无穷大，则可得，上述微分方程的解可以表示为收敛半径为无穷大的幂级数其中Xn是向量值级数系数，维数与X相同；，利用幂级数恒等条件，可以得到递推关系式中，I是大小为(Q+1)×(Q+1)的单位矩阵；由此系数序列X_n唯一确定；向量X_n中最后一个分量是状态z₁幂级数的系数，通过递推关系消掉X_n其它分量，可以验证最后一个分量序列与幂级数递推关系在k＝0时所确定的序列a_n,0相同，由此可得k＝0时z₁的级数是收敛的且收敛半径无穷大；其次，证明k为任意数时，幂级数是收敛的；设当为任意数时，幂级数系数序列记为和级数正是k＝0时收敛的级数与的麦克劳林级数的柯西积：级数和同理；所以，当为任意数时，幂级数仍然收敛；事实上，e^‑kt麦克劳林级数收敛半径为无穷大，只要k取某一值幂级数解收敛，则k取其它值时相应的幂级数解仍收敛，且收敛半径相同；步骤三：选择合适指数项衰减常数k；引入用来衡量幂级数解的收敛速度指标变量ncr，其意义是使得部分和逼近误差余式Rn小于指定精度ε的索引变量n的最小值，换句话说，至少需要ncr+1项部分和，才会使得逼近精确解的误差小于ε；ncr与k有关，将ncr表示成关于k的函数形式从定义可以看出ncr越小越好，意味着收敛速度越快；使得ncr取值最小的k是最优的，记为同时考虑幂级数精度、收敛速度和递推关系的简化，可以按照如下方案选取参数k：一阶制导系统选取k＝1，欠阻尼二阶制导系统选取k＝ξ/β，Q阶二项式系统选取k＝Q，对于一般的高阶系统可选取上述各式中，αi(i＝1,2,...Q1)为一阶环节特征参数，ξj(j＝1,2,...Q2)和βj(j＝1,2,...Q2)为二阶环节特征参数。