[发明专利]一种正交各向异性对边简支矩形薄板振动分析方法

摘要

本发明公开了一种正交各向异性对边简支矩形薄板振动分析方法。该方法基于正交各向异性矩形薄板的自由振动方程，首先建立了振型微分方程，完成了哈密顿正则方程的构建；其次，按照辛几何方法，利用分离变量法求解，推导了特征方程相应的特征值的表达式，分析了两组特征值的取值情况；构建了含待定常数的振型函数通解形式，结合对边简支边界条件，推导了本征值及其本征向量表达式，并证明了本征向量系的辛正交性和完备性；采用辛本征向量展开，得到了状态向量的表达式，进而获得了振型函数的通解；最后，针对对边简支的六种常见边界条件，分别推导了相应的频率方程，从而实现了自由振动频率的精确求解，能够为开展其动力学分析及相关应用奠定基础。

主权项

1.一种正交各向异性对边简支矩形薄板振动分析方法，其特征在于，实现步骤如下：第一步：考虑正交各向异性矩形薄板的自由振动方程：其中，x和y分别是矩形薄板长为a和b的边所在坐标轴，w,h和ρ分别是薄板的挠度、厚度和体密度，D₁,D₂和D₃分别是薄板的弯曲刚度参数；薄板的简谐主振动为：w(x,y,t)＝W(x,y)e^iωt其中，W(x,y)是薄板的振型函数，ω是薄板的固有振动角频率，i²＝‑1；因此，正交各向异性矩形薄板振型微分方程为：第二步：基于第一步建立的正交各向异性矩形薄板振型微分方程，由绕y轴和x轴的力矩平衡条件：其中，M_x,M_xy和Q_x分别是在x为常量的横截面上所受到的单位长度的弯矩、扭矩和横向剪力，M_y和Q_y分别是在y为常量的横截面上所受到的单位长度的弯矩和横向剪力，M_x,M_y和M_xy的表达式为：薄板振型微分方程可以写为：横截面上所受到的总剪力为横向剪力与扭矩的等效剪力之和，即：其中，V_x,V_y分别是在x,y为常量的横截面上所受到的总剪力；令：利用M_y的表达式可得：由薄板振型微分方程和Q_x,Q_y,M_x,M_y,M_xy,V_x,V_y的表达式，可得：令T＝‑V_y，上述四式可以写为矩阵形式如下：其中，Z＝[W,θ,T,M_y]^T是薄板的状态向量；上式即为正交各向异性矩形薄板自由振动问题的哈密顿正则方程；第三步：基于第二步建立的正交各向异性矩形薄板自由振动问题的哈密顿正则方程，按照辛几何方法，利用分离变量法求解，即：Z(x,y)＝X(x)Y(y)其中X(x)＝[W(x),θ(x),T(x),M_y(x)]^T将分离变量式代入哈密顿正则方程，可得：其中是μ待求本征值，X(x)为相应的本征向量；上式第二式是本征方程，相应的特征方程为：其中λ是其特征值；展开特征方程可得：D₂μ⁴+2D₃μ²λ²+D₁λ⁴‑ρhω²＝0从而可以求得特征值：λ_1,2＝±α₁i,λ_3,4＝±α₂；第四步：基于第三步求得的特征方程的特征值的表达式，如果两组特征值都为0，即λ_i＝0(i＝1,2,3,4)，从而可得μ＝ω＝0，显然频率为0不是自由振动的正确解；如果λ_1,2＝0而λ_3,4≠0，可得：其中上式成立的条件为ω＜0，对于自由振动频率而言不成立；如果λ_1,2≠0而λ_3,4＝0，可得：振型函数的通解形式可以写为：其中A',B',C',F'为待定常数；将振型函数的通解形式代入边x＝0和边x＝a简支边界条件，可得：A'＝C'＝0以及方程：要使方程有非零解，令其系数矩阵行列式为0，得到：进而可以得到自由振动频率为：这种情况下，无论在边y＝0和边y＝b的边界条件如何，自由振动频率都保持不变，不符合实际物理意义；因此，第三步求得的特征方程的两组特征值应均不为0；第五步：基于第四步求得的特征方程的两组特征值均不为0的情况，振型函数的通解形式可以写为：W(x)＝Acos(α₁x)+Bsin(α₁x)+Ccosh(α₂x)+Fsinh(α₂x)其中A,B,C,F为待定常数；由对边简支边界条件，可得：A＝C＝0以及方程：令其系数矩阵行列式为0，得：sin(α₁a)sinh(α₂a)＝0其根为：由第三步表征的α₁,α₂表达式，可得本征值：与本征值对应的本征向量为：与本征值对应的本征向量为：同样，可以分别得到与本征值和对应的本征向量和第六步：基于第五步求得的本征向量表达式，由于满足：哈密顿算子矩阵H的本征向量系是辛正交的；在Cauchy主值意义下由本征向量系给出的辛Fourier展开式为：其中：通过计算可得a_±m,b_±m的表达式，辛Fourier展开式经过计算可以得到：由于是完备正交基对f_k(x)(k＝1,2,3,4)相应的Fourier级数，所以本征向量系在Cauchy主值意义下是完备的；因此，状态向量Z的通解可写为如下辛本征向量展开形式：其中系数a_±m,b_±m可由本征向量系的辛正交性计算得到；第七步：基于第六步获得的状态向量的通解形式，可以进一步写为：状态向量Z的第一分量是振型函数W，则振型函数W的通解为：基于的表达式和以e为底的指数函数与三角函数的关系，振型函数W的通解可以表示为：其中C_mi(i＝1,2,3,4)为待求常数，由薄板在边y＝0和边y＝b的边界条件确定；第八步：基于第七步得到的正交各向异性对边简支矩形薄板振型函数的通解形式，考虑在边y＝0和边y＝b的不同常见边界条件(简支、固支和自由)的组合，分别将通解形式代入四边简支、对边简支另两边固支、三边简支一边固支、三边简支一边自由、对边简支另两边自由和对边简支另两边一固支一自由这六种边界条件，得到关于C_mi(i＝1,2,3,4)的联立方程组，要使其有非零解，令所得方程组的系数矩阵行列式为0，分别得到频率方程；对于四边简支边界条件得到了频率的解析表达式如下：其他边界条件的频率通过求解相应的频率超越方程得到。