[发明专利]基于DNA自组装技术实现有限域GF(2n)上乘法逆元和除法模运算的方法及系统

说明书

技术领域

本发明涉及计算机技术和生物技术，特别涉及一种DNA自组装技 术的椭圆曲线密码系统的破译方法及系统。

背景技术

Adleman创立了以DNA分子为“数据”，以生物酶和生物操作为 信息处理“工具”的DNA计算模型证明了DNA分子潜在的计算能 力，并由此开创了DNA计算(又称分子计算)领域。随后，许多学 者在此领域内做出了杰出的工作。DNA计算是对DNA序列通过可控 的生化反应来进行信息处理。最大优点是充分利用DNA分子具有海 量存储能力以及生化反应的巨大并行性。Winfree提出了利用DNA分 子Tile自组装做计算的重要思想，近十年中，DNA自组装在分子计 算、生物物理、纳米技术等各个方面的潜力都得到了广泛的发掘，为 DNA计算领域的发展奠定了坚实的理论和实验基础。所谓分子自组 装是指分子及纳米颗粒等结构单元在平衡条件下，通过非共价键作用 自发地缔结成热力学上稳定的、结构上确定的、性能上特殊的聚集体 或超分子结构的过程。分子自组装代表了一种“自下而上的”制造高 精度复合物的方法。这个方法可以分两步实现：首先，通过合成化学 的方法构造出单个的分子；然后，把单个分子组装成大的结构。DNA 分子由于其结构特点和特有的分子间相互作用特性(Watson-Crick互 补规则)，尤其适合于充当自组装的材料合成出具有复杂结构的物质。 Winfree在理论上提出了二维DNA自组装是可以用来实现Wang  Tile理论的，因此是具有图灵完全运算能力的计算模型。Winfree在 Seeman的分子纳米结构理论的基础上，提出了通过Tile构造纳米结 构的过程来实现计算的思想。随后逐渐发展成以Tile自组装为基础的 DNA计算，Winfree证明了DNA分子的自组装过程具有计算的完备 性，对DNA分子自组装的精细研究为在纳米尺寸上研制新型计算元 件和开发针对DNA等生物大分子的高端操纵技术准备了条件。在实 验上，Winfree首次证实了用DX模块进行DNA自组装是可行的。

有限域GF(2ⁿ)包含2ⁿ个元素，每个元素是由度为n且系数在 GF(2)上取值的本原多项式G(x)＝xⁿ+g_n-1x^n-1+L+g₁x+g₀生成的。假设 该域上两个多项式B(x)＝b_n-1x^n-1+L+b₁x+b₀，H(x)＝h_n-1x^n-1+L+h₁x+h₀， 和本原多项式满足如下关系式：

B(x)·H(x)≡1{modG(x)}

或等价于：

B(x)·H(x)+G(x)·F(x)＝1

其中，F(x)也是该域上的多项式。在此，我们需求出多项式B的 乘法逆元H(x)＝B^-1(x)modG(x)。

对该有限域上的任意一个元素B，有则该元素的逆元可 表示为由于2ⁿ-2可分解为2+2²+2³+L+2^n-1，则可用如下表达 式求解乘法逆元