[发明专利]带反作用飞轮的卫星时间最优姿态机动方法

权利要求书

1.一种带反作用飞轮的卫星时间最优姿态机动方法，针对反作用轮安装在惯性轴上的航天器，从一种稳定的姿态机动到另一种稳定的姿态，其特征在于，包括以下几个步骤：

第一步、建立考虑反作用轮动力学的航天器姿态运动模型，在此基础上建立卫星时间最优姿态机动模型；

(1)建立考虑反作用轮动力学的航天器姿态运动模型；

姿态运动模型包括姿态动力学模型和姿态运动学模型；

姿态运动学模型为：

q·=12Q(ω)·q=12Ξ(q)ω---(1)]]>

其中，q＝[q₁，q₂，q₃，q₄]^T是四元数向量，q₁，q₂，q₃，q₄分别为四元数的四个分量，ω＝[ω₁，ω₂，ω₃]^T是卫星的角速度向量，ω₁、ω₂、ω₃分别为卫星的角速度向量在飞行器坐标系三个轴上的分量，Q(ω)和Ξ(q)为：

Q(ω)=-ω×ω-ωT0Ξ(q)=q4I3×3+q13×-q13T---(2)]]>

其中，I_3×3表示3×3的单位矩阵，ω^×和是反对称矩阵，如下：

ω×=0-ω3ω2ω30-ω1-ω2ω10q13×=0-q3q2q30-q1-q2q10---(3)]]>

姿态动力学模型为：

ω·=Is-1(-ω×Isω-ω×IRWΩ-Tu+Tex)---(4)]]>

其中，I_s和I_RW分别是卫星和反作用轮的惯性矩矩阵，Ω反作用轮的角速度向量，Ω＝[Ω₁，Ω₂，Ω₃]^T，Ω₁，Ω₂，Ω₃分别为安装在Oxb，Oyb和Ozb轴上的反作用轮的角速度，T_u是反作用轮的力矩向量，T_u＝[T_u1 T_u2 T_u3]^T，T_u1 T_u2 T_u3分别表示安装在Oxb，Oyb和Ozb轴上的反作用轮产生的力矩，T_ex是环境扰动力矩，不考虑此项；忽略扰动力矩的姿态动力学模型(4)为：

ω·=Is-1(-ω×Isω-ω×IRWΩ-Tu)---(5)]]>

反作用轮的姿态动力学模型为：

Ω·=IRW-1Tu---(6)]]>

通过式(1)、(5)、(6)得到考虑反作用轮动力学的航天器姿态运动模型为：

x·=f(x,u)---(7)]]>

其中：x是状态变量，u是控制变量；状态变量包括卫星的姿态四元数和角速度以及反作用轮的角速度；控制变量为反作用轮的力矩；状态变量和控制变量为：

x＝[q₁ q₂ q₃ q₄ ω₁ ω₂ ω₃ Ω₁ Ω₂ Ω₃]^T，u＝T_u＝[T_u1 T_u2 T_u3]^T    (8)

(2)建立卫星时间最优姿态机动模型；

卫星姿态重定向机动模型的初始稳定状态为：

q1(t0)=q1t0q2(t0)=q2t0q3(t0)=q3t0q4(t0)=q4t0]]>

ω1(t0)=ω1t0ω2(t0)=ω2t0ω3(t0)=ω3t0---(9)]]>

Ω1(t0)=Ω1t0Ω2(t0)=Ω2t0Ω3(t0)=Ω3t0]]>

其中，为初始时刻姿态四元数的值；为卫星转动角速度三个分量在初始时刻的值；为三个反作用轮在初始时刻的转动角速度的值；

卫星姿态重定向机动模型的终端时刻的稳定状态为：

q1(tf)=q1tfq2(tf)=q2tfq3(tf)=q3tfq4(tf)=q4tf]]>

ω1(tf)=ω1tfω2(tf)=ω2tfω3(tf)=ω3tf---(10)]]>

Ω1(tf)=Ω1tfΩ2(tf)=Ω2tfΩ3(tf)=Ω3tf]]>

其中，为终端时刻姿态四元数的值；为卫星转动角速度三个分量在终端时刻的值；为三个反作用轮在终端时刻的转动角速度的值；

卫星在初始时刻和终端时刻的角速度都为O，则

ω1t0=ω2t0=ω3t0=ω1tf=ω2tf=ω3tf=0;]]>

反作用轮的角动量的限制转换成角速度的限制，如下：

|Ω1|≤Ω‾|Ω2|≤Ω‾|Ω3|≤Ω‾---(11)]]>

其中，为反作用轮的最大角速度；最大控制力矩约束如下：

|Tu1|≤T‾u|Tu2|≤T‾u|Tu3|≤T‾u---(12)]]>

其中，为反作用轮的最大力矩；卫星角速度的约束，如下：

|ω1|≤ω‾|ω2|≤ω‾|ω3|≤ω‾---(13)]]>

其中，是最大角速度；四元数分量满足：

q12+q22+q32+q42=1---(14)]]>

|q_i|≤1，i＝1，2，3，4；式(7)也是一项等式约束；卫星时间最优姿态机动模型的最优性能指标为：

minuJ=minu(tf-t0)---(15)]]>

其中：t₀是初始时间，t_f是终端时间；式(7)-(15)构成卫星时间最优姿态机动模型；

第二步、针对考虑了反作用轮动力学的航天器姿态运动模型获取开环最优控制；

(1)对航天器姿态运动模型进行归一化处理

状态变量和控制变量归一化为：

ω~=ωω‾Ω~=ΩΩ‾T~u=TuT‾u---(16)]]>

或者

ω=ω‾ω~Ω=Ω‾Ω~Tu=T‾uT~u---(17)]]>

归一化处理后的航天器姿态运动模型为：

q·=12ω‾Q(ω~)·qω~·=Is-1(-ω‾ω~×Isω~-Ω‾ω~×IRWΩ~-T‾uω‾T‾~u)Ω~·=T‾uΩ‾IRW-1T‾~u---(18)]]>

四元数的最大数值为1，同时所有四元数的分量都位于区间[-1，1]；

(2)用归一化参数描述的最优控制问题；

归一化变量描述的航天器姿态运动模型为；

x~·=f(x~,u~)---(19)]]>

其中

x~=q1q2q3q4ω~1ω~2ω~3Ω~1Ω~2Ω~3T]]>

                         (20)

u~=T~u1T~u2T~u3T]]>

最优控制的性能指标为：

J＝t_f-t₀                                        (21)

不等式约束为：

x~min≤x~≤x~maxu~min≤u~≤u~max---(22)]]>

其中，x~max=1111111111,x~min=-x~max,u~max=111,u~min=-u~max;]]>

等式约束为优化的目标为：找到一个归一化的控制使得卫星姿态重定向的时间最短；

(3)采用勒让德伪谱法将最优控制问题转化成非线性规划问题

最优控制问题描述在时间区间[t₀，t_f]，采用如下形式对勒让德高斯兰伯特区间和物理时间区间进行转换：τ∈[τ₀，τ_N]＝[-1，1]

t=(tf-t0)τ+(tf+t0)2---(23)]]>

航天器归一化的姿态运动模型如下：

x~·(τ)=tf-t02f(x~(τ),u(τ)~)---(24)]]>

x~(-1)=x~t0x~(1)=x~tf]]>

其中：表示τ对应时刻的归一化的状态变量的导数、归一化的状态变量和控制变量的值，表示初始时刻和终端时刻归一化的状态变量的值，均为常值，经过转换后，通过N阶多项式的形式来估计连续状态变量和控制变量，如下所示；

x~≈x~N(τ)=Σt=0Nx~lφ1(τ)u~≈u~N(τ)=Σt=0Nu~lφl(τ)---(25)]]>

其中，l＝0，1，…，N，N表示一选定的正整数，表示N个点拟合的状态变量和控制变量在τ对应时刻的值。

φl(τ)=1N(N+1)LN(τl)(τ2-1)L·N(τ)τ-τl=1ifl=j0ifl≠j---(26)]]>

上式是N阶的拉格朗日插值多项式，L_N(τ_l)勒让德多项式；

x~l=x~N(τl),u~l=u~N(τl),τl=τ(tl)---(27)]]>

其中，t_l表示第l个节点对应的时刻，τ_l表示第l个节点对应的τ的值。表示第l个节点对应的归一化的状态变量和控制变量的值。为了根据在节点τ_l的值来表达状态变量的导数相应的航天器姿态运动模型式(19)为：

x~·N(τk)=Σt=0NDklx~(τl)---(28)]]>

其中：D_kl是(N+1)×(N+1)的差分矩阵D的分量：

D=[Dkl]=LN(τk)LN(τl)1(τk-τl)k≠l-N(N+1)4k=l=0N(N+1)4k=l=N0otherwise---(29)]]>

因而，在最优控制问题中的状态方程的等式约束通过离散状态表示：

Σl=0NDklx~(τl)-tf-t02f(Σl=0Nx~(τl)φl(τk),Σl=0Nu~(τl)φl(τk))=0---(30)]]>

其它的等式约束为不等式约束为：

x~min≤x~(τl)≤x~maxu~min≤u~(τl)≤u~max---(31)]]>

最优控制问题的性能指标为式(21)，优化变量是和最优控制问题转化为非线性规划问题；

(4)优化计算求解非线性规划问题，得到开环最优姿态机动参数；

第三步、获取鲁棒反馈控制器，实现航天器重定向姿态机动；

上面所述步骤通过求解最优控制问题得到了最优姿态机动模型的开环控制，根据姿态误差方程获取鲁棒反馈控制器；

(1)建立姿态误差方程；

q_d、ω_d为期望姿态四元素和转动角速度，q_e为坐标系F_b相对期望坐标系F_d的姿态四元数；相应的从F_d到F_b的转换矩阵C(q_e)为；

C=(qe42-qe13Tqe13)I3×3+2qe13qe13T-2qe4qe13×---(32)]]>

其中：q_e1、q_e2、q_e3、q_e4为四元数q_e的四个分量，向量q_e13＝[q_e1、q_e2、q_e3]^T，为q_e13的转置向量，是q_e13的反对称矩阵，q与q_d，q_e的关系为：

q＝mat(q_d)q_e                                   (33)

其中

mat(qd)=qd4qd3-qd2qd1-qd3qd4-qd1qd2qd2qd1qd4qd3-qd1-qd2-qd3qd4---(34)]]>

其中：q_d1、q_d2、q_d3、q_d4为q_d的四个分量，F_b相对F_d的角速度ω_e在坐标系F_b中为：

ω_e＝ω-Cω_d                                   (35)

根据ω_e和q_e重写式(4)和式(1)，则姿态误差方程为：

Isω·e=-(ωe+Cωd)×Is(ωe+Cωd)-(ωe+Cωd)×IRWΩ+Is(ωe×Cωd-Cω·d)-Tu]]>

                                         (36)

q·e=12Ξ(qe)ωe]]>

(2)获取鲁棒反馈控制器

李亚普洛夫函数为：

V=12ωeTIsωe+k1(qe12+qe22+qe32+(1-qe4)2)---(37)]]>

其中：k₁＞0；可以得到速度V的导数为：

V·=ωeT{-(ωe+Cωd)×Is(ωe+Cωd)-(ωe+Cωd)×IRWΩ+Is(ωe×Cωd-Cω·d)-Tu}+k1ωeTqe13T]]>

=ωeT{-ωe×(Is(ωe+Cωd)+IRWΩ)-((Cωd)×Is+Is(Cωd)×)ωe-(Cωd)×IsCωd-IsCω·d]]>

                     (38)

-(Cωd)×IRWΩ-Tu}+k1ωeTqe13T]]>

=ωeT(-(Cωd)×IsCωd-IsCω·d-(Cωd)×IRWΩ-Tu)+k1ωeTqe13T]]>

根据式(38)，则鲁棒反馈控制器为：

u=Tu=(-Cωd)×IsCωd-IsCω·d-(Cωd)×IRWΩ+k1qe13+k2ωe---(39)]]>

通过鲁棒反馈控制器跟踪第二步(4)得到开环最优姿态机动参数，实现航天器重定向姿态机动。