[发明专利]一种计算伽罗华域本原元正整数次幂的方法

说明书

技术领域

本发明涉及信息安全技术中的代数编解码领域，具体来说是一种计算伽罗华域本原元正整数次幂的方法。

背景技术

有限域乘法是目前代数编解码领域中应用到较多的运算，其中很多加密认证算法都要利用有限域乘法。伽罗华域就是广泛应用于代数编解码领域的一种重要有限域，伽罗华域的运算是主要指在特定规则下进行的两类运算：加法和乘法。在伽罗华域中仅包含0和1两个元素，其运算规则与有理数域不同，具体而言：加法是一种逻辑异或计算，可很容易利用一个异或门来实现；而乘法是一种逻辑与运算，利用一个与门也可以轻易实现。例如，对于一个伽罗华域中α^k(K为非负整数)的加法规则为：α^k+α^k＝(1^1)α^k＝0，记为公式(一)；α^k+0＝α^k+0*α^k＝(1^0)α^k＝α^k，α^k+0＝α^k记为公式(二)，其中^表示逻辑异或。例如α²+α²＝0，α²+0＝α²，补充说明α⁰＝1。

对于一个伽罗华域GF(2^m)，若α为伽罗华域GF(2^m)的本原元，可将GF(2^m)的本原多项式表示为p(X)＝X^m+b[m-1]X^m-1+b[m-2]X^m-2+b[m-3]X^m-3+...+b[1]X+b[0]，其中：m是正整数，数组b[m]是本原多项式p(X)的0～(m-1)次项的系数数组，b[0]～b[m-1]是数组b[m]的m个元素，b[m]数组元素值为0或1。伽罗华域上元素的表示方法与域上运算算法关系密切，其域元素可用本原元素、剩余类、多项式及矢量表示，其中最直接的表示方法是本原元素表示方法(又称指数表示、幂次表示)。由生成GF(2^m)域的本原多项式，可从本原元素表示法导出其他三种表示方法。根据伽罗华域原理，本原元α是方程p(x)＝0的一个根，即p(α)＝0，可以得到α^m+b[m-1]α^m-1+b[m-2]α^m-2+b[m-3]α^m-3+...+b[1]α+b[0]＝0，再根据伽罗华域加法原理得到α^m＝b[m-1]α^m-1+b[m-2]α^m-2+b[m-3]α^m-3+...+b[1]α+b[0]，记为公式(三)。

在代数编解码过程中，经常需要把α的正整数次幂即αⁿ(n为正整数)变换成最高次幂小于m的多项式表达式(简称为αⁿ表达式)。根据公式(三)可知无论n为多大的正整数，αⁿ都可表示为最高次幂小于m的形式。例如：p(X)＝X¹⁴+X¹²+X¹¹+X+1，则α¹⁴＝α¹²+α¹¹+α+1，α¹⁶＝α¹⁴*α²＝(α¹²+α¹¹+α+1)α²＝α¹⁴+(α¹³+α³+α²)＝α¹²+α¹¹+α+1+(α¹³+α³+α²)＝α¹³+α¹²+α¹¹+α³+α²+α+1，因此αⁿ可以表示为如下格式：αⁿ＝c[m-1]α^m-1+c[m-2]α^m-2+c[m-3]α^m-3+...+c[1]α+c[0]，记为公式(四)，其中c[0]～c[m-1]是αⁿ对应多项式表达系数数组c[m]的m个元素，c[m]数组元素值为0或1。