[发明专利]规角仪

说明书

令a＝勾＝3个长度单位，b＝股＝4个长度单位，c＝弦＝？

假设a水平固定，以b的长度为半径，绕与a的结点C为圆心画圆；又以a+b的长度为半径，以c与a的结点B为圆心画圆，两圆内切于A`点，连接两圆心B与C并延长必通过切点A`，且此连线必为对称轴，根据对称性，我们来研究对称轴的上半部分(如图1)。此时，a与b夹角为180°时，c＝弦＝a+b＝3+4＝7个长度单位；当a与b夹角为90°时c＝弦＝5个长度单位，这就是著名的勾股弦定理(如图1)；当a与b夹角为0°时c＝弦＝b-a＝4-3＝1个长度单位；从图1可以看出，随着a与b夹角的变化，c弦的长度也随着变化，且90°＜a与b夹角＜180°时，5＜c弦＜7个长度单位；0°＜a与b夹角＜90°时，1＜c弦＜5个长度单位。即a与b的夹角在180°内变化时，c弦的长度在1-7个长度单位内变化。反过来看，对c弦的1-7个长度单位上的任意一点，不断决定了弦本身长度，而且也决定以b的长度为半径所画圆的圆心角，并且还决定了以a+b的长度为半径所画的圆的圆心角的大小，而这两个圆心角与△ABC的两个内角∠ACB和∠ABC一一对应。换句话说，就是C弦上的任意一点，既决定a+b为半径上弦的长度，也决定了a与b所夹的圆心角和a与c所夹的另一个圆心角的大小。再看当a水平不动时，b水平A与A`点重合时开始，逆时针方向旋转，圆心角∠ACB则从180°→0°，而另一个圆心角∠ABC则0°→180°，但这两个圆心角并不互补(0°与180°除外)。

我们把以a+b为长度单位的半圆弧分成180°的等分圆心角(因为圆周角为360°)，以A与A`的起点为0°，则以b为半径所画的弧与180个圆心角半径a+b上都有一不等长的截点。同理，把以b为长度半径所画的半圆也分成180°的等分圆心角，在A与A`重合的点，则圆心角∠ACB＝180°，当∠ACB则从180°→0°，圆弧上180个等分点在弦a+b上也有180个不等的对应截点，因此，a+b弦上的每一个点有三重身份，一是c弦本身的长度，二是圆心角∠ABC的大小，三是圆心角∠ACB的大小。如果c＞7个长度单位，即有a+b＝3+4＝7＜c，两边的和小于第三边则不能构成三角形，或c＜1，即有b-a＝1＞c，两边的差大于第三边也不能构成三角形。

当然，如a≠勾，b≠股，而是任意正数，(为方便理解起见，总是把短边置换为a边)，上面我们探讨的理论总是成立的，因此，我们知道了a边，b边以及a与b所夹的角，c边就由在a+b这个半径上的某一截点(长度单位)决定了，我们可以直接读出来，换一句话说，余弦定理c²＝a²+b²-2abCos∠C，用一个尺子就可以量出来，现在，我们推而广之，我们可以设计一个测量仪，即这个测量仪既能量角度，又能同时量出两条夹边的长度(不需要时除外)，我们知道直尺是量长度的，我们把直尺中间切割出一条带圆孔(作定点转动之用)的窄槽，这个直尺可画四条刻度线，直尺的两个最外缘刻长度刻度，如令1个长度单位＝3cm，则a＝9cm，b＝12cm，切割出两个窄槽内缘一边标注圆心角∠ABC的度数，另一边标准∠ACB的度数(如图2)C尺。又设计出一个滑块，这个滑块带圆孔，这个滑块要既能绕某一定点转动，又能沿窄槽直线滑动。因此，我们把锣钉的圆柱体两对称边切割成平面(如图4)，此时锣钉既可在圆形孔洞中自由转动，而把两个切面沿窄槽又能滑动，并且这个锣钉滑块还可以作为指针指出尺面上的刻度(如图5)(放大图)(图6)，为了开发使用者的想象力和动手能力，我们还可以设计出直窄条尺，在上面打一些孔洞，让使用者用图钉联成三边形或多边形(如图7)。现在我们把图2中的A尺、B尺和C尺联在一起，就构成了图5所示的规角仪。其用法：用B点对准角的顶点，a边与角的一边重合，让b边绕C点转动，使滑块沿c槽滑动，使c边与角的另一边重合，则a尺上可显示一边的长度，c尺上可显示另一边的长度，而c尺上滑块可指示出直尺内缘左上边∠ABC的度数；如果以C点(a尺上)对准角顶点，a边与角的一边重合，b边与角的另一边重合，则角两边的长度在a尺和b尺上显示，而在c尺上滑块可指示c直尺内缘右下方刻度为∠ACB的度数(图5)，从图2和图5中我们都可以看出：角度的不均匀刻度与长度均匀刻度有较大区别，特别在∠ABC＜60°时(∠ACB＞120°时)，角度的刻度较密，误差较大，为了改变这一状况，我们可以把规角仪调整为图6状况，让A点、B点只能转动，而b尺在C点只能沿b尺滑动，b尺在两条内缘左边可标刻∠ABC的角度，内缘的右边可标刻∠ACB的角度，并且这是一个等腰三角形。此时量的∠ABC精度高(但角度不能太大)

总之，我们用三角形的两边与两内切圆的半径，三角形的两个内角与两内切圆的圆心角建立一一对应的关系，利用这种数学模型来研究三角形边、角之间的动态关系，进而得出一般的结论，再利用这种数量模型的结论，设计出具体的规角仪，而这种规角仪在我们日常的学习、工作、生活中可广泛用于测量、检验及研究。