[发明专利]一种行星齿轮传动系统扭转振动固有特性分析方法

权利要求书

1.一种行星齿轮传动系统扭转振动固有特性分析方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤一：应用拉格朗日方程，对单个行星排带阻尼纯扭转振动进行数学建模；

规定太阳轮、行星轮、齿圈、行星架的下标分别为s、p、r、c，第i个行星轮定义下标为pi，转角为θ，转速为加速度为各齿轮半径为R，J表示转动惯量，k、c分别表示刚度和阻尼，k、c下标两字母连接代表下标两字母表示部件间的刚度和阻尼，α₁为行星架位移方向与齿圈和行星轮啮合线的夹角，α₂为行星架位移方向与太阳轮和行星轮啮合线的夹角；

应用拉格朗日方程建模

设L=T-V

有ddt(∂L∂q·j)-∂L∂qj=Qj′]]>

其中T为动能，V为势能，Q′_j为非有势力的广义力，在进行带阻尼扭转振动计算中，把阻尼力看作非有势力广义力进行计算；

(1)能量计算

系统的动能为

T=12Jsθ·s2+12Jrθ·r2+12Jcθ·c2+Σi=1q[12Jpi(θ·c+θ·pi)2+12mp(Rcθ·c)2]]]>

系统的势能为弹簧的弹性势能，在单个行星排中势能分为两个部分，一个是齿轮传动啮合处的势能，一个是行星系统与外部连接处的势能；

齿轮传动啮合处势能：

V1=Σi=1q[12ksp(θsRs-θcRscosα2+θpiRpi)2]+Σi=1q[12kpr(θcRrcosα1+θpiRpi-θrRr)2]]]>

行星系统与外部连接的势能：

V2=12ksθs2+12kcθc2+12krθr2]]>

上式中k_s、k_c、k_r为与其他部件连接刚度，单位为N·m/rad，k_sp、k_pr为行星传动内外啮合刚度，分别为太阳轮与行星轮啮合刚度和行星轮与齿圈啮合刚度，单位为N/(m·rad)；

(2)建立有阻尼扭转振动微分方程

Jθ··+Cθ·+Kθ=0]]>

得到：

由此看出，阻尼与弹簧对应存在，作为非有势力广义力的阻尼力与有势力弹簧力对应存在，

所以，通过刚度矩阵推出阻尼矩阵：

步骤二：对该传动系统进行固有特性分析

（1）数值求解

应用阵型叠加法求解，引入正则坐标x_N，所得振动方程左乘右乘A_N，则

x··N+CNx·N+KNxN=0]]>

C_n、K_N分别为正则坐标中的阻尼矩阵和刚度矩阵；

展开形式为：x··Nj+CNjx·Nj+Wj2xNj=0]]>

改写为：x··Nj+2ζjWjx·Nj+Wj2xNj=0]]>

其中ζ=C_Nj/2W_j，是第j阶正则阵型相对阻尼系数；

所以，固有频率Wj′=Wj1-ζ2;]]>

举实例验证：

行星排中有4个行星轮，其行星齿轮传动的参数如表1：

表1行星齿轮传动参数

编程得到的固有频率如表2：

表2固有频率

阶数固有频率（Hz）0011146.622059.332807.443325.5

表中0阶代表刚体运动；

（2）simulationX仿真求解

根据表1，求得固有频率为：

表3固有频率

阶数固有频率（Hz）0011272.722037.532866.343327.4

（3）小结

除第一阶频率外，其他阶固有频率计算与仿真误差在3%以下，第一阶的不同是由于建模方式的限制产生的，在simulationX建模中，行星架的转动惯量与行星轮是必须分开计算的，而数值计算中，把行星轮绕中心轴的转动同时归于行星架的转动惯量上，所以引起了约为9.9%的误差；

步骤三：应用多组计算，验证阻尼对固有频率的影响：

通过以上步骤，计算实际应用中的100个行星排的固有频率，对比无阻尼情况下与有阻尼的实际情况，得出这样的结论：

数值上，C/K≤1/10000时，对其固有特性基本无影响，在1/10000≤C/K≤1/500时，除行星架外影响很小，约为1%；因此，1/500≤C/K，就应考虑阻尼影响；

步骤四：建立行星齿轮传动系统通用矩阵并通过实例数值计算和simulationX建模仿真验证；

一、多个行星齿轮传动系统通用矩阵

同样应用拉格朗日方程求解

(1)能量计算

系统的动能为

T=12J1sθ·1s2+12J1rθ·1r2+J1cθ·1c2+Σi=1q[12J1pi(θ·1c+θ·1pi)2+12m1pi(R1cθ·1c)2]]]>

+12J2sθ·2s2+12J2rθ·2r2+12J2cθ·2c2+Σi=1q[12J2pi(θ·2c+θ·2pi)2+12m2pi(R2cθ·2c)2]]]>

+...+12Jxsθ·qs2+12Jxrθ·xr2+12Jxcθ·xc2+Σi=1q[12Jxpi(θ·xc+θ·xpi)2+12mxpi(Rxcθ·xc)2]]]>

+12Jinθ·in2+12Joutθ·out2]]>

系统的势能为

势能为弹簧的弹性势能，在单行星排中势能分为两个部分，一个是齿轮传动啮合处的势能，一个是行星系统与外部连接处的势能；

齿轮传动啮合处势能：

V1=Σi=1q[12k1sp(θ1sR1s-θ1cR1scosα12+θ1piR1pi)2]+Σi=1q[12k1pr(θ1cR1rcosα11+θ1piR1pi-θ1rR1r)2]]]>

Σi=1q[12k2sp(θ2sR2s-θ2cR2scosα22+θ2piR2pi)2]+Σi=1q[12k2pr(θ2cR2rcosα21+θ2piR2pi-θ2rR2r)2]]]>

+...+Σi=1q[12kxsp(θxsRxs-θxcRxscosαx2+θxpiRxpi)2]+Σi=1q[12kxpr(θxcRxrcosαx1+θxpiRxpi-θxrRxr)2]]]>

行星系统与外部连接的扭转弹性势能包括两部分

1、行星排间通用势能表达式：

V2=12kxymn(θxy-θmn)2]]>

行星排间有多少连接，就有多少V2求和，由于其连接的不确定性，所以没办法用求和的方法统一表示；

2、输入、输出势能：

V3=12kin(θ1s-θin)2+12kout(θout-θxendc)2]]>

公式中J_in、J_out分别为输入转动惯量，θ_in、θ_out、分别为输入和输出的转角和转速；

由非有势力对应求得阻尼矩阵为：

其中K_y，n表示部件y、n连接的连接矩阵

x指第x级行星排，x取1、2、3…，q代表第q个行星齿轮，q取1、2、3…

R_xs、R_xc、R_xr、R_xpi分别指第x级行星排太阳轮、行星架、齿圈、第i个行星轮的半径；

α_x1、α_x2分别指第x级行星排行星架位移方向与齿圈和行星轮啮合线的夹角、行星架位移方向与太阳轮和行星轮啮合线的夹角；

J_in、J_out、K_in、K_out是把输入和输出看作一个整体，代表整体的输入、输出转动惯量和输入、输出轴的刚度；

求得对应阻尼矩阵为：

其中m取1、2、3…，代表第m排，n代表s、r、c；k_xymn、c_xymn代表第x级行星排中部件y与m级行星排中部件n连接刚度和阻尼；矩阵中y直接替换成了相应部件字母；k_xsp、k_xsp、c_xsp、c_xsp分别代表第x行星排太阳轮和行星轮间、行星轮和齿圈间的刚度和阻尼；

一般情况下，由一排太阳轮输入，最后一个行星排行星架输出，这两个矩阵加上输入输出影响后变为：

阻尼为：

求得连接矩阵的构成，对于k_xymn、c_xymn，是第x级行星排中部件y与m级行星排中部件n连接刚度和阻尼，刚度和阻尼的连接矩阵就是在x级行星排y部件对应行和m级行星排n部件对应列位置分别添加项-k_xymn、-c_xymn，就构成了连接矩阵；

在输入、输出轴连接部件对应刚度项和阻尼项中直接加上K_in、k_out、c_in、c_out即可；

举连接矩阵的例子如下：

连接矩阵只受行星排间连接影响，因为连接有多种形式，所以连接矩阵也不相同，还是按照一排太阳轮输入，最后一排行星架输出分情况；这里假设相邻行星排连接中最常见的几种连接情况，其他情况得到原理相同；

由于相邻排中所有可能出现的情况以势能方式均列出，在下面分情况讨论

V2=12kxs(x+1)s(θxs-θ(x+1)s)2+12k(x+1)cxr(θ(x+1)c-θxr)2+12kxc(x+1)r(θxc-θ(x+1)r)2]]>

+12kin(θ1s-θin)2+12kout(θout-θxendc)2]]>

K_in，1=[-k_in 0 0…0 0 0]

Kx,out=000···0-kout0]]>

阻尼为：C_in，1=[-c_in 0 0…0 0 0]

Cx,out=000···0-cout0]]>

情况一、X排行星架与X+1排齿圈相连，X排齿圈同时与X+1排行星架相连；

情况二、X排齿圈与X+1排行星架相连，X排太阳轮与X+1排太阳轮相连；

情况三、X排行星架与X+1排齿圈相连，同时X排太阳轮与X+1排太阳轮相连；

其余情况连接矩阵计算原理相同，连接部件不同影响相应项的位置；上述部件间若无连接，则对应刚度值取0；在变速箱中应用，随档位变化会有相应的部件固定，此时，对应刚度行和列的值均取0；

二、两个行星排连接实例验证

两个行星排中行星齿轮均为4个，1行星排的太阳轮与2行星排的太阳轮相连，1行星排的齿圈与2行星排行星架相连；依实际情况，输入轴连接1排太阳轮，输出轴连接2排行星架，离合器输入，负载输出，下面计算中的所有符号表示，是把上面的第x排换成实际行星排的级数进行计算，不再重复列出；

同样应用拉格朗日方程求解；

（1）能量计算

系统的动能为

T=12J1sθ·1s2+12J1rθ·1r2+12J1cθ·1c2+Σi=14[12J1pi(θ·1c+θ·1pi)2+12m1pi(R1cθ·1c)2]]]>

+12J2sθ·2s2+12J2rθ·2r2+12J2cθ·2c2+Σi=14[12J2pi(θ·2c+θ·2pi)2+12m2pi(R2cθ·2c)2]]]>

+12Jinθ·in2+12Joutθ·out2]]>

系统的势能为

势能为弹簧的弹性势能，在单行星排中势能分为两个部分，一个是齿轮传动啮合处的势能，一个是行星系统与外部连接处的势能；

齿轮传动啮合处势能：

V1=Σi=14[12k1sp(θ1sR1s-θ1cR1scosα12+θ1piR1pi)2]+[12k1pr(θ1cR1rcosα11+θ1piR1pi-θ1rR1r)2]]]>

Σi=14[12k2sp(θ2sR2s-θ2cR2scosα22+θ2piR2pi)2]+[12k2pr(θ2cR2rcosα21+θ2piR2pi-θ2rR2r)2]]]>

行星系统与外部连接的扭转弹性势能：

V2=12k1s2s(θ1s-θ2s)2+12k2c1r(θ2c-θ1r)2+12kin(θ1s-θin)2+12kout(θout-θ2c)2]]>

公式中J_in、J_out分别为输入转动惯量，θ_in、θ_out、分别为输入和输出的转角和转速；

J=JinJ1J2Jout]]>

K=KinKin,1K1K1,2K2K2,outKout]]>C=CinCin,1C1C1,2C2C2,outCout]]>

K_in，1=[-k_in 0 0 0 0 0 0]    C_in，1=[-c_in 0 0 0 0 0 0]

K2,out=00000-kout0]]>K1,2=-k1s2s00000-k2c1r0]]>

C2,out=00000-cout0]]>

C1,2=-c1s2s00000-c2c1r0]]>

表4行星齿轮传动系统参数

表5输入输出参数

编程得到的固有频率如表6：

表6固有频率

阶数固有频率（Hz）00190

21093980411385114661599727158280793176103456

表中0阶代表刚体运动；

（2）simulationX仿真求解，根据表4、5，构建模型求得固有频率为表7：

表7固有频率

阶数固有频率（Hz）00197521130312974155952790628967318083400

表中0阶代表刚体运动；

表2中3-10阶频率与表3中1-8阶一一对应，误差小于5%，验证了数值计算方法的正确性；

所有误差都与是否考虑输入输出轴有关，其中表2中数值表2中第5阶与表3中第3阶相差较大的原因还有仿真建模方法与数值计算方法的不同，在simulationX建模中，行星架的转动惯量与行星轮是必须分开计算的，而数值计算中，把行星轮绕中心轴的转动同时归于行星架的转动惯量上，这点与单行星排出现的误差原因相同。