[发明专利]一种基于经验分布函数的不等组距直方图的绘制方法

说明书

技术领域

本发明涉及一种基于经验分布函数的不等组距直方图的绘制方法，它可以有效地进行参数分布选择和分布密度估计，适用于质量管理、医疗统计以及图像处理等相关技术领域。

背景技术

直方图是整理数据，发现其规律最常用的方法之一。通过直方图的形状可以初步判断一批数据（一个样本）的总体分布，并直观地显示数据的分布状态。因此，直方图是一种最为常见的密度估计和数据分析工具。

传统的直方图采用等组距方法制作，以组距为底边、以频数为高度，可以直观地显示出样本的分布状态，从而判断其总体分布情况。直方图组距的选取是决定直方图形态、体现其性能的关键。组距太小，每组的频数较小，由于随机性的影响，临近区间上的频数可能相差很大，显示不出分布的规律；组距太大，直方图所反映的分布形态就不灵敏。

传统的等组距直方图虽然也可以反映出数据的变化规律，但是没有考虑数据（样本）的密集程度，在样本点集中和稀疏的区域采用相同的分组组距。这样，在众数附近由于集中的样本信息较多，等组距直方图在此区域估计会过于平坦；而在尾部等数据相对较少的区域，则会导致出现“零密度”区间等与实际不相符的情况，特别在样本量较小或者分布变化较为急促或者重尾数据，等组距直方图误差较大，估计非常粗糙。

为此，本发明给出了一种基于经验分布函数的不等组距直方图的绘制方法。

发明内容

（1）本发明的目的：本发明针对等组距直方图不能根据数据的密集程度自动调整组距，导致可能出现区间密度为零等与实际不相符，不能充分反映分布特征的缺憾，提供一种基于经验分布函数的不等组距直方图的绘制方法，以进行更精确的总体分布估计，更好地显示样本数据的分布特征。

经验分布函数是依据样本以频率估计概率的方式得到的实际分布函数的一个逼近，可以准确地反映数据的变化规律。本发明利用样本的经验分布函数，绘制不等组距直方图，根据数据（样本）的密集程度，自动调整直方图组距的大小，与传统的等组距直方图相比，可以更准确的描述不同区域的样本特征，从而对数据进行更精确的描述，有效地展示数据的变化规律。

（2）技术方案：

本发明给出了一种基于经验分布的不等组距直方图的绘制方法。

制作直方图的目的主要是用样本估计总体分布，其关键在于确定直方图组距。组距在很大程度上会影响直方图的性质和总体分布特征。传统的直方图，首先根据样本量确定组数，再根据样本量均分横坐标轴。然而，这种确定组距的方法没有考虑样本数据的变化特征，没有针对性，不能充分显示样本数据的变化特征，特别是对于变化较为急促或者重拖尾数据，会出现“零密度”区间等与实际相悖的情况。

根据Glivenko–Cantelli定理，当样本量趋近于无穷大，即n→∞时，经验分布函数F_n(x)依概率1均匀地收敛于分布函数F(x)，即也就是经验分布函数是对分布函数的有效拟合。因此，本发明从经验分布函数F_n(x)的角度入手，通过落入纵坐标F_n(x)等距离区间中的样本频数及其对应的广义反函数确定组距和组高，从而通过落入不同区间的样本频数绘制不等组距直方图；这里，广义逆函数的计算公式为：表示满足条件F(t)≥x的下确界。由于经验分布函数值服从区间[0,1]上的均匀分布，采用经验分布函数绘制的直方图每组频数几乎相等，这样可以有效避免传统直方图出现“零密度”区间的异常情况。

基于上述理论和思路，本发明涉及一种基于经验分布函数的不等组距直方图的绘制方法，其具体实施步骤如下：

步骤一：采用统计抽样方法从总体中收集到n个样本数据x₁,x₂,...,x_n，将其按从小到大的顺序重新排列为x₍₁₎≤x₍₂₎≤...≤x_(n)，由此得到样本数据的顺序统计量x₍₁₎,x₍₂₎,...,x_(n)，其中x_(i),1≤i≤n为样本的第i个顺序统计量；

步骤二：确定直方图的最小下界L、最大上界U及组数k，具体确定方法如下：