[发明专利]一种四冗余RFINS最优配置方案的确定方法

权利要求书

1.一种四冗余RFINS最优配置方案的确定方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤一：建立冗余型捷联惯导系统惯性传感器输出模型；冗余型捷联惯导系统中与传感器输入输出相关的两个坐标系：

●传感器坐标系即s系：它是由传感器的安装轴所形成的坐标系，原点位于传感器安装轴的相交点，坐标轴即为传感器安装轴，因此在s系中各坐标轴并非传统的正交关系；

●系统本体坐标系即b系：它的原点在系统的重心处，为便于表示，设系统重心与s系原点重合，x_b沿载体横轴向右，y_b沿载体纵轴向前，z_b与载体底座垂直向上，三个坐标轴满足右手定则；

s系与b系均与载体固联，其中b系与当地地理坐标系之间的关系即反映了载体的水平及航向姿态角；假设m=[m₁ m₂ ... m_n]^T表示n个陀螺仪或加速度计的输出矢量；x=[x₁ x₂ x₃]^T表示载体相对惯性空间的转动角速度或比力沿b系中三个正交轴的映射矢量；H=[h₁ h₂ ... h_n]^T为n×3阶的传感器配置矩阵，其描述了s系与b系之间的关系，并满足rank(H)=3且的条件；ε为陀螺仪或加速度计的量测噪声矢量，满足ε～N(0,ρI_n)，此时m,x,H和ε具有如下关系：

m=Hx+ε    (3-1)

在斜置或正交+斜置配置时，各种配置方案之间的差异主要体现于惯性传感器安装轴之间的夹角不同，在斜置冗余型捷联惯导系统中，一般不会直接利用陀螺仪与加速度计输出值m完成惯导解算，而是首先求出b系下的映射矢量再进行惯导解算过程完成载体速度、位置和姿态的求解，如下式所示：

x^=(HTH)-1HTm---(3-2)]]>

步骤二：推导证明基于导航性能的冗余型捷联惯导系统最优传感器配置矩阵H应满足的充要条件；观察方程（3-1）和（3-2）得到，中包含由陀螺仪或加速度计量测噪声ε引入的误差矢量；定义x的估计误差为此时冗余型捷联惯导系统的导航精度基于以下误差方差阵：

P=E[e·e^T]=(H^TH)^-1ρ²    (3-3)

方差阵P的迹J用于表示系统导航性能的优劣，如下式所示；基于导航性能的最优传感器配置应满足J最小；

J=trace(P)=E[(x1-x^1)2]+E[(x2-x^2)2]+E[(x3-x^3)2]---(3-4)]]>

对于方程（3-3），基于导航性能的冗余型捷联惯导系统最优传感器配置矩阵H应满足以下充要条件：

HTH=n3In---(3-5)]]>

证明：充分性：假设满足上述条件，并且矩阵H^TH的特征值为λ₁,λ₂,λ₃；由得到以下不等式：

J=trace(P)=ρ2trace{(HTH)-1}=ρ2(1λ1+1λ2+1λ3)≥3ρ2λ1λ2λ33---(3-6)]]>

上式当且仅当λ₁=λ₂=λ₃时等号成立；因此当时，描述导航性能的方差阵P的迹达到最小，此时配置矩阵H将使系统获得最优的导航性能；

必要性：假设导航性能最优时传感器配置矩阵为H，且方程（3-3）中方差阵P的迹达到最小；设H^TH的特征值为λ₁,λ₂,λ₃，同样由得到不等式（3-6），式中当且仅当λ₁=λ₂=λ₃时等号成立；

由于且trace(HH^T)=λ₁+λ₂+λ₃，而当方差阵P的迹最小时λ₁=λ₂=λ₃，因此得到下面证明当满足上述条件时，成立；

对H进行奇异值分解得到：

H=UΛV^T    (3-7)

这里U=[u₁,u₂,…,u_n],V=[v₁,v₂,v₃],Λ=Σ0,]]>Σ=diag{σ₁,σ₂,σ₃}；u_i和v_i分别是与H的奇异值相关的左右特征向量，U和V均为酉矩阵且σ_i²＝λ_i；因此得到：

HTH=VΛTUTUΛVT=Σ2=n3In---(3-8)]]>

步骤三：根据最优配置条件，得出使得斜置型四冗余捷联惯导系统获得最优导航性能的配置方式；由上节得，若使器件级斜置型四冗余捷联惯导系统获得最优导航性能，陀螺仪与加速度计的配置矩阵H应满足如下条件：

HTH=43In---(3-9)]]>

由于H^TH是正定矩阵且H为列满秩矩阵，其三个特征值均为对H做如式（3-7）所示的奇异值分解，其中U∈R^4×4与V∈R^3×3均为正交矩阵，Λ表示为：

Λ=2/30002/30002/3000---(3-10)]]>

矩阵H表示为如下形式：

H=U1U2Λ1Λ2V---(3-11)]]>

其中，U₁∈R^4×3，U₂∈R^4×1，Λ₂=0；由于U₂Λ₂=0，因此H即为：

H=U1Λ1V=(2/3)U1V---(3-12)]]>

U₁V看作将U₁进行坐标系转换，但其行向量之间的夹角始终保持不变，因此H中四个行向量之间的夹角等同于U₁中四个行向量之间的夹角；由于H=[h₁,h₂,h₃,h₄]^T具有|h_i|=1的特征，则U₁与U₂的行向量的模分别为和1/2；假设U₂=[u₂₁,u₂₂,u₂₃,u₂₄]^T，其中四个元素均为1/2或-1/2，因此U₂为如表1所示的16个向量之一；

表1 U₂的16种表达形式

假设U₁=[u₁₁,u₁₂,u₁₃,u₁₄]^T，则U=[(u₁₁,u₂₁),(u₁₂,u₂₂),(u₁₃,u₂₃),(u₁₄,u₂₄)]^T，并且对于∀i,j=1,2,3,4(i≠j),]]>满足如下关系：

|u1i|=3/2|u2i|=1/2u1iu1jT+u2iu2jT=0---(3-13)]]>

同样对于矩阵U₁中各行向量之间夹角的余弦表示为：

cos⟨u1iu1j⟩=u1iu1jT|u1i||u1j|=-4u2iu2jT/3---(3-14)]]>

由于配置矩阵H中四个行向量之间的夹角等同于U₁中四个行向量之间的夹角，假设四个陀螺仪或加速度计的安装轴分别为A、B、C和D，则安装轴之间的夹角A/B,A/C,A/D,B/C,B/D和C/D的余弦如表2所示；

表2四个安装轴之间夹角的余弦

 A/BA/CA/DB/CB/DC/D1-1/3-1/3-1/3-1/3-1/3-1/321/31/31/3-1/3-1/3-1/331/3-1/3-1/31/31/3-1/34-1/31/3-1/31/3-1/31/35-1/3-1/31/3-1/31/31/3

6-1/31/31/31/31/3-1/371/3-1/31/31/3-1/31/381/31/3-1/3-1/31/31/3

通过比较表1和表2中的数据发现，通过奇异值分解的方法求解出基于导航性能最优的器件级四冗余捷联惯导系统配置方案，四个安装轴之间夹角的余弦值存在固定解；表2中实质只存在两种配置方式：(1)～(5)表示正四面体配置，其中(1)与其余四种安装方式的区别为A轴的正向相反，在(1)中各轴之间夹角为109.4712°，在(2)～(5)中各棱轴与中心轴间夹角为70.5288°，而棱轴之间夹角仍为109.4712°；(6)～(8)表示正四棱锥配置，此时相邻棱轴间夹角为70.5288°，而相对棱轴间夹角为109.4712°；以(1)、(2)和(6)为例，其配置矩阵分别表示为：

H(1)=100-0.3333-0.94280-0.33330.47140.8165-0.33330.4714-0.8165]]>

H(2)=100-0.33330.942800.33330.47140.8165-0.3333-0.47140.8165]]>

H(6)=1000.33330.942800.3333-0.47140.8165-0.33330.47140.8165]]>

因此能够使斜置型四冗余捷联惯导系统获得最优导航性能的配置方式仅有两种，分别是正四面体与相邻轴夹角为70.5288°的正四棱锥配置方式。