[发明专利]一种基于linux的路径跟踪方法

说明书

技术领域

本发明涉及计算机应用技术领域,具体地说是一种基于linux的路径跟踪方法。 

背景技术

在最近的几十年，求解一些优化问题（如均衡问题、非线性规划、多目标规划、变分不等式、互补问题等）的方法相继被提出来。其中，非线性规划问题是一个非常重要的问题，它在经济学、电子线路设计、自动控制、计算机辅助设计和制造、神经网络以及图形图像处理等诸多领域中，都有很多应用。 

求解数学规划问题方面的工作是于1979年C. B. Garcia和W. J. Zangwill首先提出的。为了求解凸规划问题，他们构造了带有参数的约束问题： 

其中，，。然后，利用非光滑函数和将KKT系统中含有不等式的部分转化为等式，这样一来，就可以将原始问题转化为一个非线性方程组问题，然后可以构造一个同伦对其进行求解。1984年，一种新的方法被N. Karmarkar提出求解线性规划问题，该方法其实是一种路径跟踪的方法或者称之为内点法。这种方法求解线性规划问题具有多项式复杂性。该方法提出后引起了好多学者的关注。

为了求解非凸非线性规划问题，一种组合同伦方法（Combined Homotopy Interior Point Method，简称CHIP方法）被冯果忱、林正华、于波提出来，并且同伦路径的存在性和全局收敛性也得到了证明。随后林正华、李勇及于波在1996年将含有不等式约束的非线性规划问题的同伦方法推广到了带有等式约束的问题上。林正华、于波及冯果忱在1997年提出了求解凸规划问题的同伦方法。紧接着，在自和谐条件下，关于凸规划的组合同伦方法的全局收敛性及与当前存在的内点法相似的多项式复杂性也被于波、徐庆、冯果忱进行了证明。近些年来，一些研究者不断地改善了这种方法，组合同伦内点法不断地得到了改善与推广。 

2001年，一种称为凝聚同伦（Aggregate Constraint Homotopy，简称ACH方法）的方法被于波、冯果忱及张绍良提出，该方法可以求解带有多约束的非凸规划问题。随后他们做了一些假设条件，即可行集有界、边界正则及弱法锥条件，对同伦路径的存在性和收敛性进行证明。在ACH中，其同伦变量的个数为，而在CHIP中同伦变量的个数为。在凝聚同伦中，将约束条件较多的非线性规划变成单约束规划来处理，这样求解问题的规模就被大大压缩。因此，如果在实际当中遇到约束个数多的情况下，我们优先选择凝聚同伦。但是，在一些条件，比如在“弱法锥条件”下，凝聚同伦对初始点的要求比较高，必须取在可行集合中的某个子集当中，有些时候这种条件难以达到或者不好取；在其他的某些条件下，需要一些辅助的函数才能构造同伦方程，而这些辅助函数往往都难以实现。因此，如果想做到大规模应用还有些困难。在2006年，一种更便于使用的组合同伦被于波、商玉凤提出。该同伦方法对条件的要求更少，但是却可以求解一些边界不断变动的非凸规划问题。他们证明了此方法路径的存在性与大范围收敛性，而且该方法与先前提出的一些同伦方法相比，对初始点的要求更弱，同伦也容易构造。 

随着工程中的问题越来越多，产生的一些问题的规模可能非常大，对求解这类问题的方法的效率的要求也越来越高。对于这样的需求，在2011年，周正勇、于波提出了平整化的凝聚同伦方法以改善凝聚同伦方法的一些计算缺点，并且给出了这种方法的大范围收敛性的证明。这种方法主要是利用某些函数对原来的约束函数进行加权划分，并设立一个准则来减少约束函数求一阶导数和二阶导数的计算。此方法对约束个数非常多的非线性规划问题非常有效。 

虽然非线性规划问题的理论研究有很多突破，这样只能保证能适应不同复杂度的问题在建立路径跟踪模型时提高效率，但是在跟踪过程中尚无一个统一有效的方法可供大家使用，本方法作为一个求解非线性规划问题解集的一个重要工具，可以很好的满足科研领域以及工程应用当中的遇到的实际问题。 

在实际的工程项目当中，非线性规划问题有如下特征： 

a)   所涉及的数据量非常大，而且要求性能非常苛刻（往往是毫秒级的），因此如何能快速得到目标解是极其重要的；

b)   非线性规划问题的描述转换成数学模型往往是通过向量的形式，通常我们采取矩阵结构来保存处理这些数据。但是，这些向量当中好多都是非对称的，因此，我们在数据结构的设计当中，如何既能保证空间复杂度又能保证时间复杂度而且精确的跟踪路径尤为重要；

c)  在路径跟踪过程中，方法要不断循环预估、校正、调换、校验这四个步骤，如何能使循环次数降低但又不缺失精度也是我们要攻克的技术问题。

发明内容