[发明专利]点到隐式曲线距离数值计算的圆倍扩-二分算法

权利要求书

1.一种二维平面内的点p₀到隐式曲线距离的数值计算方法，其中隐式曲线为某有界区域Ω上有定义且方向导数有界的二元函数f(x，y)依其零值集确定的单分支平面曲线，其特征在于，包含如下步骤：

第一步(圆的倍扩过程)：判断以p₀为圆心、以容许误差ε为半径的圆与隐式曲线是否相交，若相交，结束该步，否则，圆的半径扩大一倍，再判断半径扩大了的同心圆是否与隐式曲线相交，反复圆的倍扩与相交判断过程，直至同心圆与隐式曲线相交；

第二步(圆的二分过程)：取外半径为第一步最后一个同心圆的半径，内半径为外半径的1/2，取中值半径为内半径与外半径之平均值，然后判断以中值半径为半径的同心圆(即二分圆)与隐式曲线是否相交，若相交，外半径下调为中值半径，不然，内半径上调为中值半径，继续取中值半径并判断相交性，反复圆的二分与相交判断过程，直至内、外半径之差小于容许误差ε，返回内半径与外半径之平均值作为点p₀到所述隐式曲线的距离，算法结束。

2.如权利要求1所述的数值计算方法，其特征在于，其中第一步和第二步中判断圆与隐式曲线是否相交的方法包含如下步骤：

(1)取最小的正整数n，使圆周2ⁿ等分后每段圆弧长小于容许误差，圆周等分后依次分布的等分点为q0,q1,......,q2n-1,q2n=q0;]]>

(2)置初始值i＝0，初始劣弧集A＝{[0，2ⁿ]}，劣弧集是圆上函数值可能与f(p₀)异号的圆弧的集合，其元素形如[s，t]，其中s、t分别是圆弧两端的等分点标号，[s，t]表示由等分点q_s，q_s+1，……，q_t连成的圆弧，初始劣弧集只有一个从q₀连到的单个圆弧，其实为整个圆周；

(3)将i的n位二进制数表示b₁b₂……b_n逆序，得到二进制数b_n……b₂b₁，其表示的整数为j；

(4)若q_j不落在劣弧集A的任一圆弧内，跳至步骤(7)；

(5)计算f(q_j)，若该函数值与f(p₀)异号，结束判断，返回结果为“圆与隐式曲线相交”，否则，进行劣弧演化，即根据f(q_j)值与方向导数上界M排除f(q)肯定与f(p₀)同号的等分点q，对A中的圆弧进行删除、收缩和分裂处理，缩小劣弧集的覆盖范围；

(6)若劣弧集，结束判断算法，返回结果为“圆与隐式曲线不相交”；

(7)置i为i+1，若i＝2ⁿ，结束判断算法，返回结果为“圆与隐式曲线不相交”，否则转至步骤(3)。

3.如权利要求2所述的相交判断算法，其特征在于，其中步骤(5)中的劣弧演化包含如下步骤：

①若|f(q_j)|＞2Mr，置，结束；

其中：

r为圆的半径；

M为f(x，y)的方向导数的上界，即

M=maxΩ||▿f(x,y)||=maxΩ||(∂f(x,y)∂x,∂f(x,y)∂y)||<+∞;]]>

②计算a=2arcsin|f(qj)|2Mr;]]>

③计算其中表示取下整数，此时f(q_i)必与f(p₀)同号(j-k≤i≤j+k)，即得2k+1个同号等分点；

④若j＝0，直接将圆弧[0，2ⁿ]收缩为[k+1，2ⁿ-k-1]，否则，对劣弧集A的每个圆弧[s，t]，分如下五种情形分别作演化处理：

(a)j-k＞t或j+k＜s：保持[s，t]不变；

(b)j+k≥t≥j-k＞s：[s，t]收缩为[s，j-k-1]；

(c)t＞j+k≥s≥j-k：[s，t]收缩为[j+k+1，t]；

(d)j+k≥t≥s≥j-k：将[s，t]从A中删除；

(e)t＞j+k≥j-k＞s：[s，t]分裂为[s，j-k-1]和[j+k+1，t]两个圆弧；

⑤结束。