[发明专利]基于加工振动的立铣刀关键几何参数设计方法

权利要求书

1.一种基于加工振动的立铣刀关键几何参数设计方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1：以材质、长度、直径相同的标准等距立铣刀作为替代刀具进行模态试验，获得加工系统关键模态参数；

步骤2：对加工系统进行动力学建模，得到加工系统的动力学方程；

步骤3：对所述动力学方程进行状态空间变换，得到状态空间方程；

步骤4：应用GRK法对加工系统的状态空间方程进行稳定性分析，获得加工系统在加工参数空间的稳定性图谱，即Lobe图；

步骤5：改变替代刀具的齿间距参数和螺旋角参数，获得不同齿间距参数和螺旋角参数条件下的加工系统Lobe图；

步骤6：以获得最大的加工效率为目标，通过比较不同刀具参数条件下的Lobe图，得到优化后的立铣刀关键几何参数，即齿距和螺旋角；

所述步骤2，具体为：

步骤2.1，在二自由度系统下，不考虑模态耦合作用，所述刀具-机床加工系统的动力学方程，如公式(1)所示：

其中，质量矩阵阻尼矩阵刚度矩阵切削力矩阵m、c、k、F分别表示质量、阻尼、刚度、切削力；x，y分别表示两个方向；

步骤2.2，沿轴向将替代刀具离散为Z个微圆盘，对于每个微元，替代刀具在第j个刀齿处所受的切向力和径向力如公式(2)所示：

其中，dF_jt(t，z)和dF_jn(t，z)分别表示刀齿j在高度为z的圆盘处于时刻t所受到的切向微元力和径向微元力，表示圆弧角，表示开关函数，h_j(t，z)表示切厚，K_tc、K_te、K_nc和K_ne分别表示切向切削力系数、切向刃口力系数、径向切削力系数和径向刃口力系数；

圆弧角的表达式如公式(3)所示：

其中，Ω，β，和R分别表示主轴转速rpm，螺旋角rad和半径m，表示刀齿j与紧邻的上一个刀齿j+1之间的圆心角；对于等齿距铣刀，其中N为刀齿数目；

开关函数用于判断对应的微元是否正在切削，其表达式如公式(4)所示：

其中，分别表示刀齿切入、切出角，表示除以2π的余数；

切屑瞬时切厚表达式为：

其中，f_j表示刀齿j在x方向的进给率，T_j为第j个齿间距对应的时滞，x(t)为x方向振动位移，y(t)为y方向振动位移，x(t-T_j)为t-T_j时刻对应的x方向的振动位移，y(t-T_j)为t-T_j时刻对应的y方向的振动位移；

步骤2.3，定义a/D为刀具的径向切深比，其中a为径向切深，D为刀具直径；对于替代刀具的逆铣，对于替代刀具的顺铣

步骤2.4，为了获得在刀具正交坐标系下的动力学方程，将切向力和径向力向x、y方向投影，结果如公式(6)所示：

步骤2.5，沿轴向对公式(6)积分，得到替代刀具刀齿j在正交坐标系下的切削力，如公式(7)所示：

其中，a_p为轴向切深；

步骤2.6，整个替代刀具所受切削力为各个刀齿所受切削力在正交方向的叠加，如公式(8)所示：

因此，系统动力学建模后得到的动力学方程为：

其中，q(t)＝[x(t)，y(t)]^T，

其中，M为模态质量矩阵，K为模态刚度矩阵，K_j(t)为切削系数矩阵，T_j为第j个齿间距对应的时滞，为加速度状态向量，为速度状态向量，q(t)为位移状态向量，F₀为与动态切厚无关的切削力分量，t为时间，x(t)为x方向振动位移，y(t)为y方向振动位移，a_p为轴向切深，表示圆弧角，表示开关函数，f_j表示刀齿j在x方向的进给率，K_tc、K_te、K_nc和K_ne分别表示切向切削力系数、切向刃口力系数、径向切削力系数和径向刃口力系数，dz为轴向微元厚度，N为刀具沿轴向离散微元数目；

所述步骤3，具体为：

令则经过状态空间变换后，系统动力学方程变为如下状态空间方程表达式：

其中，

其中，I为单位矩阵，为x方向振动速度，为y方向振动速度；

所述步骤4，具体为：

公式(10)的解析解表达式为：

公式(11)为基本矩阵运算表达式，其中，t₀表示计算起始时间点；同时，记K_j(t，ξ，x(ξ))＝e^A(t-ξ)B_j(ξ)[x(ξ)-x(ξ-T_j)]，x(t_i)简写为x_i，应用GRK法求解多时滞微分方程(10)的具体步骤如下：

步骤4.1，假设计算起始点为(t_2i，x_2i)，i＝0，1，…，i_m，其中i_m是一个与时间离散数m有关的取整函数：

其中，ceil的作用为取比自变量大的右端紧邻整数值；

步骤4.2，假设x_2i+1已知，则利用Simpson公式得：

其中，h表示离散步长，h＝T/m，T为时间周期；

步骤4.3，计算x_2i+1，引入中间点x_2i+1/2，然后利用积分形式的四阶Runge-Kutta法得：

中间点x_2i+1/2用三点Lagrange插值函数计算，

因此，公式(14)中的中间点表示为：

x(t_2i-T_j)简写为根据公式(13)-(16)，推得相应的迭代公式，偶数项公式由(13)求得：

其中，

步骤4.4，奇数项公式由(14)求得：

其中，

基于公式(17)-(18)，动力学方程两个周期之间的离散映射关系为：

其中，

P₁、P₂和Q中的分块矩阵的位置由公式(17)-(19)决定；具体的，P₁中的分块矩阵的位置是固定的，如公式(20)所示，P₂和Q中的分块矩阵的行位置也是固定的，要与P₁对应，而P₂和Q中的分块矩阵的列位置不是固定的，与第j个齿间距对应的时滞T_j的大小有关；式(20)-(22)中，F_x表示奇数项对应的分块矩阵，下标x表示对应的离散时刻；G_x表示偶数项对应的分块矩阵，下标x表示对应的离散时刻；

状态转移矩阵表示为：

其中，表示矩阵(P₁-P₂)的Moor-Penrose广义逆；

根据Floquet理论，如果状态转移矩阵Φ的所有特征值的模都小于1，则系统是稳定的，反之，如果状态转移矩阵Φ的任何一个特征值的模大于1，则系统是不稳定的；因此，根据Floquet理论画出系统在切削参数空间的稳定边界，即稳定性图谱Lobe图。