[发明专利]一种非均匀有理B样条实时插补过程中的快速求值求导方法

权利要求书

1.一种非均匀有理B样条实时插补过程中的快速求值求导方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤1，离线建立NURBS快速求值求导结构FEDS，包含以下步骤：

①获取NURBS的节点矢量数据U＝{u₀,u₁,…,u_m}及曲线次数p；

②计算u_i∈U(u≠u_m)处NURBS表达式的分子A(u_i)与分母B(u_i)的0至p阶导数A^(0～p)(u_i)与B^(0～p)(u_i)，并保存在如下结构体中形成快速求值求导结构体数组ARRAY_FEDS：

其中：

ARRAY_FEDS[i].u＝u_i，0≤i＜m

ARRAY_FEDS[i].A[j][0..2]＝A^(j)(u_i),0≤j≤p

ARRAY_FEDS[i].B[j]＝B^(j)(u_i)

步骤2，实时插补过程根据快速求值求导结构体进行快速求值求导，包含以下步骤：

①计算所求NURBS参数u所在的节点区间u∈[u_i,u_i+1]；

②获取快速求值求导结构体数组ARRAY_FEDS中节点u_i处的分子A(u_i)与分母B(u_i)的0至p阶导数A^(0～p)(u_i)与B^(0～p)(u_i)：

u_i＝ARRAY_FEDS[i].u

A^(j)(u_i)＝ARRAY_FEDS[i].A[j][0..2],0≤j≤p

B^(j)(u_i)＝ARRAY_FEDS[i].B[j]

③使用Taylor展开法计算NURBS上参数u处的分子A(u)与分母B(u)的0至p阶导数A^(0～p)(u)与B^(0～p)(u)：

A(k)(u)=Σj=kpA(j)(ui)(j-k)!(u-ui)j-k]]>

B(k)(u)=Σj=kpB(j)(ui)(j-k)!(u-ui)j-k]]>

④计算NURBS上参数u处C(u)的第k(k≥0)阶导数为：

C(k)(u)=A(k)(u)-Σj=1kkjC(k-j)(u)B(j)(u)B(u)]]>

其中，若k＞p，取A^(k)(u)＝B^(k)(u)＝0；

所述NURBS有如下表达式：次数为p，节点矢量为U＝{u₀,u₁,…,u_m}，控制顶点矢量为P＝{P₀(x₀,y₀,z₀),P₁(x₁,y₁,z₁),…,P_n(x_n,y_n,z_n)}，权值矢量为W＝{w₀,w₁,…,w_n}，NURBS曲线C(u)为：

C(u)=A(u)B(u)=Σj=0nNj,p(u)wjPjΣj=0nNj,p(u)wj]]>

其中，u为曲线参数，m＝n+p+1，N_j,p(u)为基函数，计算如下：

Nj,0(u)=1,ifuj≤u<uj+10,otherwise]]>

Nj,p(u)=u-ujuj+p-ujNj,p-1(u)+uj+p+1-uuj+p+1-uj+1Nj+1,p-1(u)]]>

基函数各阶导数计算如下：

Nj,p(k)(u)=p(Nj,p-1(k-1)(u)uj+p-uj-Nj+1,p-1(k-1)(u)uj+p+1-uj+1),if0≤k≤p0,otherwise]]>

所述NURBS表达式分子A(u)包含x,y,z三个分量，有如下表达式：

A(u)=Σj=0nNj,p(u)wjPj]]>

其各阶导数计算为：

A(k)(u)=Σj=0nNj,p(k)(u)wjPj,if0≤k≤p0,otherwise]]>

所述NURBS表达式分母B(u)有如下表达式：

B(u)=Σj=0nNj,p(u)wj]]>

其各阶导数求取为：

B(k)(u)=Σj=0nNj,p(k)(u)wj,if0≤k≤p0,otherwise]]>

步骤1-2中由于u_m为参数终值，同属于参数区间[u_m-1,u_m]，因此无需计算u_m处的导数信息。