[发明专利]一种小车倒立摆系统的有限时间解耦控制方法

权利要求书

1.小车倒立摆系统的有限时间解耦控制方法，包含以下步骤：

步骤1，建立如式(1)所示四阶的小车倒立摆系统的动态模型，初始化系统状态、采样时间以及相关控制参数；

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\left(t\right)=a_1(x,t)+c_1(x,t)v_1\left(t\right)+d_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_3\left(t\right)=x_4\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_4\left(t\right)=a_2(x,t)+c_2(x,t)v_2\left(t\right)+d_2\left(t\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，x＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T是状态向量；a₁(x,t)，a₂(x,t)≠0是未知非线性函数；c₁(x,t)，c₂(x,t)为以下非线性函数：

$c_1(x,t)=\frac{cos\left(x_1\right)}{L(\frac{4}{3}{m}_t-m_p{\cos }^2(x_1\left)\right)}---\left(2\right)$

$c_2(x,t)=\frac{4}{3(\frac{4}{3}{m}_t-m_p{\cos }^2(x_1\left)\right)};---\left(3\right)$

d₁(t)和d₂(t)表示外部干扰，并且，|d₁(t)|≤D₁(t)，|d₂(t)|≤D₂(t)；v₁(t)，v₂(t)为饱和函数输出值，表示为：

$v\left(t\right)=sat\left(u\right)=\left\{\begin{array}{ccc}sign\left(u\right)v_{max}& if& \left|u\left(t\right)\right|\≥v_{max}\\ u& if& \left|u\left(t\right)\right|\<v_{max}\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中，u(t)∈R是实际控制信号；v_max为饱和函数宽度参数；

步骤2，将系统中的饱和函数近似为一个简单的时变系统，推导出带有饱和函数的系统模型；

2.1将饱和函数近似为一双曲正切函数，定义为：

$g\left(u\right)=v_{max}\×\tanh (u/v_{max})=u_{max}\×\frac{e^{u/v_{max}}-e^{-u/v_{max}}}{e^{u/v_{max}}+e^{-u/v_{max}}}---\left(5\right)$

然后，sat(u)被定义为：

sat(u)＝g(u)+d(u) (6)

2.2根据微分中值定理，可得

g(u)＝g(u₀)+g′(u)×(u-u₀) (7)

其中，g′(u)为g(u)在u处的一阶导数；

因此，当取u₀＝0时

g(u)＝g′(u)×u (8)

将式(8)代入式(6)得：

$\begin{array}{cc}v=g^{\′}\left(u\right)u+d\left(u\right)& \∀t\≥0\end{array}---\left(9\right)$

2.3将简化后的饱和函数式(9)代入式(1)可得：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\left(t\right)=f_1(x,t)+b_1(x,t)u_1\left(t\right)+d_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_3\left(t\right)=x_4\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_4\left(t\right)=f_2(x,t)+b_2(x,t)u_2\left(t\right)+d_2\left(t\right)\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中，x₁(t)是摆杆角位移，x₂(t)是摆杆角速度；x₃(t)是小车位移，x₄(t)是小车速度；x＝[x₁,x₂,x_3,x₄]^T为输入向量；f₁(x,t)＝a₁(x,t)+c₁(x,t)d(u)和f₂(x,t)＝a₂(x,t)+c₂(x,t)d(u)是未知非线性函数；b₁(x,t)＝c₁(x,t)×g'(u₁)，b₂(x,t)＝c₂(x,t)×g'(u₂)；

步骤3，将式(10)表示的小车倒立摆系统划分为两个二阶子系统，计算控制系统的跟踪误差、非奇异终端滑模面及其一阶导数；

3.1将式(10)表示的小车倒立摆系统划分为两个二阶子系统

$subsystem1:\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\left(t\right)=f_1(x,t)+b_1(x,t)u_1\left(t\right)+d_1\left(t\right)\end{array}\right.---\left(11\right)$

$subsystem2:\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_3\left(t\right)=x_4\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_4\left(t\right)=f_2(x,t)+b_2(x,t)u_2\left(t\right)+d_2\left(t\right)\end{array}\right.---\left(12\right)$

3.2定义如式(13)和(14)所示非线性滑模面：

$S_1={\mathrm{\λ}}_1|x_1-z{|}^{{\mathrm{\γ}}_1}sign(x_1-z)+x_2---\left(13\right)$

$S_2={\mathrm{\λ}}_2|x_3{|}^{{\mathrm{\γ}}_2}sign\left(x_3\right)+x_4---\left(14\right)$

其中，λ₁和λ₂是正常数；z是一个中间变量定义为z＝sat(S₂/φ_z)z_u，0＜z_u＜1，φ_z是S₂的界；p₁，q₁，p₂和q₂是正奇数满足p₁＞q₁和p₂＞q₂；因为(x₁-z)＜0和x₃＜0，分数γ₁和γ₂使得和因此，不会产生奇异值问题；

3.3对式(13)进行微分，可得

${\stackrel{\·}{S}}_1={\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\λ}}_1|x_1-z{|}^{{\mathrm{\γ}}_1-1}({\stackrel{\·}{x}}_1-\stackrel{\·}{z})+{\stackrel{\·}{x}}_2---\left(15\right)$

为使系统在有限时间内趋于稳定，需要满足以下条件

${\stackrel{\·}{S}}_1=-k_1{S}_1-k_2|S_1{|}^{\mathrm{\ρ}}sign\left(S_1\right)---\left(16\right)$

其中，0＜ρ＜1,k₁＞0并且k₂＞0；

根据有限时间稳定性定理可得，平衡点为x₁＝z并且x₃＝0；

步骤4，针对式(10)表示的小车倒立摆系统，选择神经网络逼近未知函数，并根据系统跟踪误差、非奇异终端滑模面，设计神经网络有限时间解耦控制器，更新神经网络权值矩阵；

4.1将和式(16)代入式(15)，解得控制信号u₁(t)的表达式为

$u_1\left(t\right)=\frac{-1}{b(x,t)}\[f_1(x,t)+d_1\left(t\right)+{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\λ}}_1|x_1-z{|}^{{\mathrm{\γ}}_1-1}({\stackrel{\·}{x}}_1-\stackrel{\·}{z})+k_1{S}_1+k_2|S_1{|}^{\mathrm{\ρ}}sign\left(S_1\right)\]---\left(17\right)$

4.2设计神经网络逼近未知函数则有

$\frac{f_1(x,t)+d_1\left(t\right)}{b(x,t)}=W^T\mathrm{\φ}\left(X\right)+\mathrm{\ϵ}---\left(18\right)$

其中，其中W为理想权重，φ(X)为神经网络基函数，X为神经网络输入向量，ε表示神经网络逼近误差；φ(x)取为以下函数：

$\mathrm{\φ}\left(X\right)=\frac{a}{b+\exp \left(\frac{-X}{c}\right)}+d---\left(19\right)$

其中，a，b，c和d均为正常数；

将式(18)和式(19)代入式(17)，可得

其中，为理想权重W的估计值，为自适应控制参数，δ为正常数；其中，ε_N为一个正常数，表示神经网络逼近误差的上限；

4.3设计u₂(t)＝u₁(t)，则式(10)可转化为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\left(t\right)=f_1(x,t)+b_1(x,t)u_1\left(t\right)+d_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_3\left(t\right)=x_4\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_4\left(t\right)=f_2(x,t)+b_2(x,t)u_1\left(t\right)+d_2\left(t\right)\end{array}\right.---\left(21\right)$

此时，摆杆与小车之间已解耦；

4.4设计神经网络权重和自适应控制参数的更新律为：

$\stackrel{\·}{\hat{W}}=K_C\mathrm{\φ}\left(X\right){S_1}^T---\left(22\right)$

其中，K_C一个正常数；

$\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\μ}}}=v_{\mathrm{\μ}}{S}_1\tanh (S_1/\mathrm{\δ})---\left(23\right)$

其中，v_μ一个正常数；

步骤5，设计李雅普诺夫函数其中，M为一正定对称矩阵，则可以证明S₁趋向于零，即x₁趋向于z；同时，式(13)中，z是一个有界衰减函数，根据以上设计可得，当S₂＝0时，z＝0，x₃＝0；因此，可以证明闭环控制系统的稳定性。