[发明专利]一类多平衡点饱和切换系统的离散增益调度控制器设计方法及实现BTT导弹控制的方法

权利要求书

1.一类多平衡点饱和切换系统的离散增益调度控制器设计方法，其特征在于它包括下述步骤：

步骤1：选取为系统的状态向量，建立多平衡点线性切换系统，如公式(1)所示

d(x‾(t)-x‾δ(t)*)dt=Aδ(t)(x‾(t)-x‾δ(t)*)+Bδ(t)u‾δ(t)---(1)]]>

其中，为系统的状态向量，Rⁿ为n维欧几里德空间，为的导数，A_δ(t)和B_δ(t)是常数矩阵，为系统的输入向量，本发明中设计K_δ(t)为控制增益，R^m为m维欧几里德空间，切换信号δ(t)：R⁺→I＝{1，2，…，M}是一个分段时间常值函数，切换信号是与时间相关的，决定了在切换时刻子系统的切换顺序，M＞1为子系统个数；是系统的平衡点，当δ(t)＝j时，第j个子系统起作用，其中j＝1，2，…，M；假设(A_j，B_j)是可控的，A_j∈R^n×nB_j∈R^n×m，j∈I且是第j个子系统的平衡点；

当执行器受限时，系统(1)可写为：

d(x‾(t)-x‾δ(t)*)dt=Aδ(t)(x‾(t)-x‾δ(t)*)+Bδ(tsat(u‾δ(t))---(2)]]>

x‾(t0)=x‾0;]]>

假设输入向量受到单位饱和函数的限制，形式如下：

sat(u)＝[sat(u₁) sat(u₂) … sat(u_m)]^T

sat(u_k)＝sign(u_k)min{1，|u_k|}，k＝1，…，m

对于切换信号δ(t)，假设切换时间序列为：t_(j)0＜t_(j)1＜…＜t_(j+1)0＜t_(j+1)1＜…＜+∞，其中t_(j)j-1表示第j个子系统作用时间t_j-1，i∈I[0，N_j]，当δ(t)＝j时，子系统j被激活，则A_δ(t)＝A_j，B_δ(t)＝B_j，t∈[t_(j)0，t_(j+1)0)；

令则公式(2)可表示为：

x·(t)=Aδ(t)x(t)+Bδ(t)sat(uδ(t))---(3)]]>

步骤2：多平衡点饱和切换系统离散增益调度控制器设计：

假设(A_j，B_j)(j＝1，2，…，M)可控，多平衡点饱和切换系统(3)离散增益调度控制器设计具体实现过程如下：

步骤2.1：定义集合γ_(1)i-1＜γ_(1)i，i∈I[1，N₁]，满足集合的γ_(1)i的选取方法是：

γ(1)i=γ(1)0+iN1(γ(1)N1-γ(1)0),i∈[1,N1]---(4)]]>

其中，γ₍₁₎₀为中的初值，大于γ₍₁₎₀；

矩阵P(γ_(1)i)是下面参量Riccati方程的唯一对称正定解

A1TP(γ(1)i)+P(γ(1)i)A1-P(γ(1)i)B1B1TP(γ(1)i)=-γ(1)iP(γ(1)i);]]>

令P(γ_(1)i)＝W^-1(γ_(1)i)，那么解参量Riccati方程可转化为解参量Lyapunov方程(5)

(A1+γ(1)i2In)W(γ(1)i)+W(γ(1)i)(A1+γ(1)i2In)T=B1B1T---(5)]]>

其中，I_n是单位矩阵；

步骤2.2：根据椭球的标准定义形式ε(P，1)＝{x：x^TPx≤1}，可以写为ε(P)，假设子系统1内有N₁个椭球，且这组椭球是嵌套的；即

ϵ(P(1)γ0)⊃ϵ(P(1)γ1)⊃...⊃ϵ(P(1)γN1)---(6)]]>

在t₍₂₎₀时刻，系统由1子系统切换到2子系统；当子系统发生切换时，定义子系统1有如下N₁个有界的集合：

E(1)i-1=ϵ(P(1)γi-1)/ϵ(P(1)γi),i∈I[1,N1]]]>

本发明中用凸包的方法处理饱和非线性；对于i∈I[1，N₁]，考虑下面的集合

L(1)i-1∈{x:|B(1)kTP(γ(1)i)x|≤1,k∈I[1,m]}]]>

其中，|·|表示绝对值，B_(1)k表示B₁的第k列，则

|B(1)kTP(γ(1)i)x|2=B(1)kTP(γ(1)i)xxTP(γ(1)i)B(1)k≤Σk=1mB(1)kTP(γ(1)i)xxTP(γ(1)i)B(1)k=xTP(γ(1)i)B1B1TP(γ(1)i)x≤xTP1/2(γ(1)i)tr(P1/2(r(1)i)B1B1TP1/2(γ(1)i))P1/2(γ(1)i)x=nγ(1)ixTP(γ(1)i)x=xTP(1)γix,∀k∈I[1,m]---(7)]]>

从而根据L_(1)i和的定义有ϵ(P(1)γi-1)⊆L(1)i-1,∀i∈I[1,N1];]]>

对于i∈I[1，N₁]，如果则可知x∈L_(1)i-1，由公式(7)可知控制律简化成u1=-B1TP(γ(1)i-1)x]]>且||u₁||_∞≤1；

针对子系统1，设计如下形式的控制器

u1=u(1)N1=-B1TP(γ(1)N1)x,x∈ϵ(P(1)γN1)u(1)N1-1=-B1TP(γ(1)N1-1)x,x∈ϵ(P(1)γN1-1)/ϵ(P(1)γN1)...u(1)0=-B1TP(γ(1)0)x,x∈ϵ(P(1)γ0)/ϵ(P(1)γ1)---(8)]]>

当t∈[t₍₁₎₀，t₍₂₎₀)时，系统(3)的控制器为式(8)；

步骤2.3：针对子系统1，取下面的Lyapunov函数

V(1)i-1(x(t))=nγ(1)i-1xT(t)P(γ(1)i-1)x(t),∀x(t)∈E(1)i-1]]>

V_(1)i-1(x(t))是时不变的，对于t∈[t_(1)i-1，t_(1)i]，i∈I[1，N₁]，有

V(1)i-1(x(t))≤V(1)i-1(x(t(1)i-1))e-γ(1)i-1(t-t(1)i-1)---(9)]]>

由式(9)可解得

||x(t)||≤κi-112e-γ(1)i-12(t-t(j)i-1)||x(t(1)i-1)||,t∈[t(1)i-1,t(1)i)κN112e-γ(1)N2(t-t(1)N1)||x(t(1)N1)||,t∈[t(1)N1,t(2)0)---(10)]]>

其中，||·||表示2范数，λ_min{P(γ_(1)i)}≤P(γ_(1)i)≤λ_max{P(γ_(1)i)}，λ_min{P(γ_(1)i)}表示对称矩阵P(γ_(1)i)的最小特征值，λ_max{P(γ_(1)i)}表示对称矩阵P(γ_(1)i)的最大特征值；那么，当i∈I[1，N₁]时，定义κi=λmax{P(γ(1)i)}λmin{P(γ(1)i)};]]>

在t₍₂₎₀时刻，子系统由1切换到2时，||x‾(t(2)0)-x1*||≤κN112e-γ(1)N2(t(2)0-t(1)N1)||x(t(1)N1)||;]]>

令z1=x‾(t(2)0)-x1*,]]>可以得出

||x(t(2)0)||=||x‾(t(2)0)-x‾2*||=||z1+x‾1*-x‾2*||≤||z1||+||x‾1*-x‾2*||≤κN112e-γ(1)N2(t(2)0-t(1)N1)||x(t(1)N1)||+||x‾1*-x‾2*||---(11)]]>

当子系统2的初值即瞬间切换的初始条件x(t₍₂₎₀)满足公式(11)时，取γ₍₂₎₀使得

nγ₍₂₎₀x^T(t₍₂₎₀)P(γ₍₂₎₀)x(t₍₂₎₀)＝1

成立；

当公式(11)成立时，则有γ₍₂₎₀的估计值为

γ(2)0λmax(P(γ(2)0))≥1||x(t(2)0)||2γ(2)0>max{0,2Re{λmax{-A2}}}---(12)]]>

公式(11)和公式(12)保证了子系统2的初值在椭球边界上；且满足

且ϵ(P(2)γ0)∩ϵ(P(1)γN1)≠ϵ(P(1)γN1)]]>

针对子系统2进行控制器设计，设计方法重复子系统1的设计过程，直到系统切换到子系统M-1；

(A_j，B_j)可控，当j＝1，2，…，M-1时，则控制器u从控制器集合{u₁，u₂，…，u_M-1}依次切换，即，当t∈[t_(j)0，t_(j+1)0)时，系统(3)的控制器为如下形式

uj=u(j)Nj=-BjTP(γ(j)Nj)x,x∈ϵ(P(j)γNj)u(j)Nj-1=-BjTP(γ(j)Nj-1)x,x∈ϵ(P(j)γNj-1)/ϵ(P(j)γNj)···u(j)0=-BjTP(γ(j)0)x,x∈ϵ(P(j)γ0)/ϵ(P(j)γ1)]]>

在切换时刻t_(j+1)0，子系统j+1的初值x(t_(j+1)0)和γ_(j+1)0满足下面的公式

||z(t(j+1)0)||≤κNj12e-γ(j)N2(t(j+1)0-t(j)Nj)||x(t(j)Nj)||+||x‾j*-x‾j+1*||γ(j+1)0λmax(P(γ(j+1)0))≥1||x(t(j+1)0)||2γ(j)0>max{0,2Re{λmax{-Aj}}}]]>

且ϵ(P(j+1)γ0)∩ϵ(P(j)γNj)≠ϵ(P(j)γNj)]]>

系统由子系统j切换到子系统j+1时状态收敛到子系统j+1的第一个椭球的边界上；

当j＝M时，系统切换到最后一个子系统，系统(3)的控制器切换为

uM=u(M)NM=-BMTP(γ(M)NM)x,x∈x∈ϵ(P(M)γNM)u(M)NM-1=-BMTP(γ(M)NM-1)x,x∈ϵ(P(M)γNM-1)/ϵ(P(M)γNM)···u(M)0=BMTP(γ(M)0)x,x∈ϵ(P(M)γ0)/ϵ(P(M)γ1)]]>