[发明专利]一种基于PETSc的GCRO-DR算法并行处理方法

权利要求书

1.一种基于PETSc的GCRO-DR算法并行处理方法，所述方法主要用于并行求解稀疏线性系统，其特征在于包括如下步骤：

(1)求解第一个稀疏线性系统时，设重启(restart)步数为m，回收(recylen)步数为k，先并行进行m步Arnoldi迭代，生成子空间V_m+1和hessenberg矩阵

(2)通过将hessenberg矩阵转换成上三角矩阵来求解最小二乘问题的解，其中min表示求解最小值，y为最小二乘解，c为初始残量的2范数与单位向量e₁的乘积，该步骤在每个处理器分别进行求解，最后每个处理器都存储了一份y；

(3)利用步骤(2)求解得到的y，并行计算线性系统的解x，并利用公式计算残量r的值，其中r为残量；

(4)利用国际开源线性代数软件包LAPACK中函数dgeev，求解的特征值和特征向量，并利用recylen个相应于最小特征值的特征向量形成P_k，该步在每个处理器上分别进行求解，最后每个处理器均存储一份P_k；

(5)利用步骤(4)得到的P_k，采用PETSc函数多向量更新VecMAXPY计算回收矩阵利用国际开源稠密矩阵计算软件包BLAS函数dgemm计算此时，每个处理器可分别计算Reduced QR分解，并更新回收矩阵C_k和U_k；

(6)开始进行迭代，当时残量的2范数小于设定好的阀值时，一直进行迭代，每次先进行m-k步Arnoldi过程，生成子空间以及生成B_k时，可重复利用Arnoldi过程中稀疏矩阵向量乘的结果，这样减少整个算法稀疏矩阵向量乘次数，进而优化性能；

(7)通过PETSc函数向量拷贝VecCopy、向量扩展VecScale、向量范数VecNorm得到

(8)求解的解时，其中min表示求解最小值，W和G是子空间矩阵，r是残量，y是最小二乘解，先按照步骤(2)中类似的方式求解y_m-k,然后采用公式计算y_k，并组成整体的y，通过上述过程中得到的残量2范数来验证收敛条件；该步骤在每个处理器分别进行；

(9)当求解第二个及以后的稀疏线性系统时，先采用修正的Gram-Schmidt算法由各个处理器协同计算Reduced QR分解，然后进行C_k和U_k的更新，然后进行上述(6)-(9)步，直至收敛。

2.根据权利要求1所述的基于PETSc的GCRO-DR算法并行处理方法，其特征在于：步骤(1)中m步Arnoldi迭代中核心操作是稀疏矩阵向量乘和向量范数，由于稀疏矩阵和向量初始时采用分布式存储方式进行存储，所有参与计算的处理器均拥有矩阵和向量的一部分，通过调用PETSc软件包可以使所有处理器上的矩阵和向量同时进行计算，即分布式并行，进而提高运算效率。

3.根据权利要求1所述的基于PETSc的GCRO-DR算法并行处理方法，其特征在于：步骤(2)和步骤(8)中通过每个处理器分别计算最小二乘问题来替代处理器间的通信，且该最小二乘问题可通过调用底层库多核并行，这样可以通过较小的计算开销来替换较大的通信开销。

4.根据权利要求1所述的基于PETSc的GCRO-DR算法并行处理方法，其特征在于:步骤(4)中每个处理器分别计算特征值问题，以较小的计算开销来替换较大的通信开销。

5.根据权利要求1所述的基于PETSc的GCRO-DR算法并行处理方法，其特征在于:步骤(5)和步骤(9)的Reduced QR分解采用的算法为Householder变换方法，该操作由每个处理器分别进行计算。

6.根据权利要求1所述的基于PETSc的GCRO-DR算法并行处理方法，其特征在于:步骤(10)中C_k和U_k的更新前，也需要做Reduced QR分解，此时采用的是修正的Gram-Schmidt算法进行实现，由各个处理器协同计算。