[发明专利]一种基于界带有限元和拉格朗日坐标的流体仿真方法

说明书

技术领域

本发明涉及流体仿真分析技术，构建了一种基于界带有限元和拉格朗日坐标的流体仿真方法。

背景技术

流体的仿真分析广泛应用于各个不同工程领域，如水利工程、航空飞行、高速列车等。流体的仿真分析，从理论上看主要有欧拉坐标和拉格朗日坐标两种，从数值分析手段来说，主要有限差分法和有限单元法两种。其中有限差分方法使用规则的矩形网格，因此对于在不规则体中的流体仿真分析需要加密网格，这导致计算量大幅增加。有限单元法在固体结构仿真分析中得到广泛运用，该方法的特点是适用于不规则问题，但是需要变分原理。

目前，流体的仿真分析主流是基于欧拉坐标，在欧拉坐标系可以导出不可压缩流体的运动微分方程，即著名的纳维-斯托克斯方程，对于该方程的计算最常用的方法是有限差分法。但是基于欧拉坐标的流体仿真分析在处理自由面流体问题时，分析困难，计算格式复杂。由于自由面随时间不断变化，其计算区域也不再规则，因此用有限差分分析困难，而且基于欧拉坐标的流体方程，很难建立变分原理，从而导致有限元分析也很困难。目前仅能对某些特殊的流体运动问题，建立变分，使用有限元分析。在分析不可压缩流体时，采用普通有限元，还存在体积闭锁等问题，影响计算精度。

如果运用拉格朗日坐标，则可以很容易得到流体的动能表达式和势能表达式，并可以利用哈密尔顿变分原理导出拉格朗日坐标系的流体动力微分方程。根据动能表达式和势能表达式，还可以利用有限元进行分析。但是在拉格朗日坐标下，以流体中质点的位移为基本未知量，以位移为基本未知量建立的传统有限单元不能完全满足不可压缩条件，计算精度不好。实际上在固体不可压缩材料的仿真分析中，有学者提出界带有限元方法，通过引入流函数来代替位移作为未知量，并利用界带单元进行分析，所构造的单元完全满足不可压缩条件。界带单元可以在传统有限元网格上进行分析，因此可以利用现有有限元网格剖分技术，而且具有计算精度高、所需的自由度小等优点。目前还没有关于流体仿真分析中采用界带有限元方法的应用。

发明内容

本发明针对现有技术不足，提出一种分析二维不可压缩流体的仿真分析方法，该方法将拉格朗日坐标方法与界带有限元方法结合来解决不可压缩流体的运动仿真问题，目的是利用界带有限元精度高和拉格朗日坐标下边界处理方便，通用性好的优势，提高分析的计算效率和精度。

为此，本发明提供了一种基于界带有限元和拉格朗日坐标的流体仿真方法，将二维不可压缩流体的计算域Ω按照传统有限元网格剖分成N_e个单元，每个单元为Ω_i；构造单元Ω_i的位移插值场，根据位移插值场构造流体的动力微分方程，求解该动力微分方程得到流体的各种物理参数，从而进行流体的运动分析；本发明用界带有限单元法构造位移插值场；并基于拉格朗日坐标描述法得到流体的动力微分方程；具体方法如下：

(a)将二维不可压缩流体的计算域Ω采用传统有限元网格剖分成N_e个单元，每个单元为Ω_i；

(b)在单元Ω_i上建立流函数ψ(x,y)的插值场时，以单元Ω_i为本体，将Ω_i周边的单元视为Ω_i的界带，将这些单元的节点合作进行插值，构造单元Ω_i上的插值函数ψ(x,y)；

(c)将步骤(b)中所述的流函数表达式求偏导，得到流体中在坐标(x,y)处质点的位移表达式；

(d)根据上一步的位移场表达式，得到每个单元上流体的质量矩阵M_i，并把所有单元的质量矩阵计算出来后，通过累加得到总体质量矩阵M；

(e)根据步骤(c)的位移场表达式，得到流体的刚度矩阵：

K(ψ)＝K_l+K_n(ψ)

其中K是刚度矩阵，ψ是所有节点的流函数值所组成的向量，K_l是线性刚度矩阵，K_n是非线性刚度矩阵；

(f)流体的边界包括两种，一种为自由面Γ_f，一种为不可穿过边界Γ_n，根据不可穿过边界Γ_n上所有有限元单元节点的编号，把刚度矩阵和质量矩阵中相应编号的行和列划去，得到描述流体运动的非线性微分方程：

(g)利用非线性微分方程求解软件求解上述非线性微分方程，得到不同时间点上的流函数向量ψ；