[发明专利]一种基于T-S模糊模型的柔性航天器多目标综合控制方法

权利要求书

1.一种基于T-S模糊模型的柔性航天器多目标综合控制方法，其特征在于：包括建立系统模型阶段、建立柔性航天器的T-S模糊模型阶段、证明柔性航天器T-S模糊模型的一致逼近性阶段、模糊鲁棒状态反馈多目标综合控制器设计阶段；

所述的建立系统模型阶段步骤如下：

(1)对于带有大型柔性太阳帆板的柔性航天器，使用有限元方法对柔性航天器的大型柔性太阳帆板进行离散得到各阶的柔性模态，选择前三阶的柔性模态；

(2)将步骤(1)选择的前三阶柔性模态和柔性航天器的姿态角作为柔性航天器的广义坐标，使用真-伪坐标形式的拉格朗日方程，得到柔性航天器具有惯量不确定性的动力学方程：

(I+ΔI)ω.+ω×[(I+ΔI)ω+Cη.]+Cη..=u+wη..+Dη.+Kη+CTω.=0---(1)]]>

式中，I是航天器的转动惯量矩阵，ΔI是由于太阳帆板转动引起的惯量不确定性增量，C是柔性附件与星体的耦合系数，u是三轴控制力矩，w是干扰力矩，η是柔性模态坐标，D＝2ξΛ，K＝Λ²，ξ为柔性附件模态阻尼系数矩阵，Λ为柔性附件模态频率矩阵，并假设D，K均正定，即柔性结构含有非负的惯性阻尼；

(3)选择修正罗德里格斯参数描述的柔性航天器姿态运动学方程，该柔性航天器姿态运动学方程如下：

p.=14{(1-pTp)I3+2(p×+ppT)}ω=F(p)ω---(2)]]>

式中：ω＝[ω₁ ω₂ ω₃]^T为星体角速度，ω^×代表向量ω的反对称矩阵；p＝[p₁ p₂ p₃]^T代表航天器本体相对于惯性空间的修正罗德里格斯参数MRPs，p^×代表向量p的反对称矩阵，I₃是航天器的转动惯量矩阵，F(p)是以p为自变量的函数；

(4)由步骤(2)的柔性航天器具有惯量不确定性的动力学方程和步骤(3)的修正罗德里格斯参数描述的柔性航天器姿态运动学方程组成柔性航天器的数学模型，通过调整柔性航天器的数学模型中的三轴控制力矩u，使得当姿态控制时间t→∞时，p→p_t，ω→0，η→0，其中p_t代表目标姿态；

所述建立柔性航天器的T-S模糊模型阶段步骤如下：

(5)将步骤(2)的带有大型柔性太阳帆板的具有惯量不确定性的动力学方程和步骤(3)的柔性航天器姿态运动学方程联合组成柔性多体航天器姿态动态系统，则有

x.(t)=f(x)+g(x)u(t)+Δf(x)+Δg(x)u(t)y(t)=Gx(t)---(3)]]>

式中，

f(x)=f1(x)f2(x)f3(x)f4(x)=14[(1-pTp)I3+2(p×+ppT)]ω[I-CCT]-1[-ω×Iω-ω×Cη.+CDη.+CKη]η.-Dη.-Kη-CT[I-CCT]-1[-ω×Iω-ω×Cη.+CDη.+CKη]]]>

g(x)=0(I-CCT)-10-CT(I-CCT)-1;G=I30000I300;]]>Δ_f(x),Δ_g(x)是系统中的不确定项；

x(t)，y(t)，u(t)为随时间变化的状态量，输出量和输入量；

(6)定义x=pTωTηTη.TT]]>为航天器姿态模糊动态模型的状态量，y＝[p^T ω^T]^T为航天器姿态模糊动态模型的输出，u＝T_c为航天器姿态模糊动态模型的输入；

(7)根据T-S模糊逼近理论，步骤(5)的式(3)表示的柔性多体航天器姿态动态系统能够由T-S模糊系统无限逼近，结合步骤(6)定义的x、y、u，T-S模糊系统的第i条模糊规则表示为：

规则i：如果z₁(t)是M_i1，并且z₂(t)是M_i2，……，并且z_n(t)是M_in

那么x.(t)=(Ai+ΔAi)x(t)+(Bi+ΔBi)u(t)y(t)=Gx(t),i=1,2,...,r---(4)]]>

式中，z＝z(t)为前件模糊变量，z＝z(t)中的元素为z₁(t)，z₂(t)，……，z_n(t)，x(t)∈Rⁿ为状态向量，u(t)∈R^m为控制向量，r为模糊规则数，A_i,B_i为适当维数的常数矩阵，ΔA_i,ΔB_i是具有适当维数的反映系统不确定的参数矩阵,M_ij为z_j(t)在第i条模糊规则下对应的隶属度，j＝1，2，……，n，n为正整数,Rⁿ为n维实数集，R^m为m维实数集；

(8)定义模糊权值h_i[z(t)]，也能表示为h_i(z)：

hi[z(t)]=Πj=1nMij[zj(t)]Σi=1rΠj=1nMij[zj(t)],i=1,2,...,r---(5)]]>

式中M_ij[z_j(t)]为z_j(t)在第i条模糊规则下对应的隶属度；

(9)根据步骤(8)定义的模糊权值h_i[z(t)]，通过重心法解模糊，得到基于步骤(7)的T-S模糊系统的模糊规则的T-S模糊航天器姿态动态系统，该系统表示为：

x.(t)=Σi=1rhi(z)[(Ai+ΔAi)x(t)+(Bi+ΔBi)u(t)]y(t)=Gx(t)---(6)]]>

所述证明柔性航天器T-S模糊模型的一致逼近性阶段步骤如下：

(10)定义函数f_TS(x)，Δ_fTS(x)和Δ_gTS(x)

fTS(x)=Σi=1rhi(z)Aix(t)=[fTS1(x),fTS2(x),...,fTSn(x)]T---(7)]]>

ΔfTS(x)=Σi=1rhi(z)ΔAix(t)=[ΔfTS1(x),ΔfTS2(x),...,ΔfTSn(x)]T---(8)]]>

ΔgTS(x)=Σi=1rhi(z)ΔBi=[ΔgTS1(x),ΔgTS2(x),...,ΔgTSn(x)]T---(9)]]>

式中，f_TS1……f_TSn，Δ_fTS1……Δ_fTSn，Δ_gTS1……Δ_fTSn分别为f_TS(x)，Δ_fTS(x)和Δ_gTS(x)的元素；

(11)根据步骤(10)中的式(7)、式(8)、式(9)，提出如下定理1：

定理1：步骤(9)的基于T-S模糊系统的模糊规则的T-S模糊航天器姿态动态系统能够以任意精度一致逼近紧致集上的步骤(3)的柔性多体航天器姿态动态系统，即ε_f，和为任意小量，存在T-S模糊系统(6)使得

||f_TS(x)-f(x)||_∞<ε_f              (10)

||Δ_fTS(x)-Δ_f(x)||_∞<ε_Δf         (11)

||Δ_gTS(x)-Δ_g(x)||_∞<ε_Δg         (12)

式中，Rⁿ为实数集，x＝(x₁,x₂,…,x_n)^T，无穷范数||·||_∞的定义为：对任意定义在紧致集上的函数a(z)，||a(z)||_∞＝sup|a(z)|,z∈U；

所述的模糊鲁棒状态反馈多目标综合控制器设计阶段步骤如下：

(12)将大型柔性太阳帆板的柔性航天器的外部干扰引入柔性多体航天器姿态运动方程(3)，则新的柔性多体航天器姿态运动方程可写为：

x.(t)=f(x(t))+g(x(t))u(t)+Δf(x(t))+Δg(x(t))u(t)+gπ(x(t))π(t)y(t)=Gx(t)---(13)]]>

式中x(t)∈Rⁿ，u(t)∈R^m，y(t)∈R^l，Δ_f(x)∈Rⁿ，Δ_g(x)∈R^n×m，π(t)∈R^m分别为系统的状态、输入、输出、不确定项和外部干扰，f(x)∈Rⁿ，g(x)∈R^n×m，g_π(x)∈R^n×m为连续光滑函数，矩阵G∈R^l×n为常数矩阵；

(13)基于T-S模糊理论，式(13)的存在外部干扰的新的柔性多体航天器姿态运动方程由如下模糊规则描述：

规则i：如果z₁(t)是M_i1，并且z₂(t)是M_i2，……，并且z_n(t)是M_in

那么x.(t)=(Ai+ΔAi)x(t)+(Bi+ΔBi)u(t)+Hiπ(t)y(t)=Gx(t),i=1,2,...,r---(14)]]>

式中，H_i为具有适当维数的常数矩阵，矩阵ΔA_i和ΔB_i表示系统的范数有界不确定性，并且矩阵ΔA_i和ΔB_i满足如下广义匹配条件

[ΔA_i ΔB_i]＝U_iF_i(t)[E_ai E_bi]          (15)

式中，U_i，E_ai和E_bi是已知的具有相容维数的常数矩阵，F_i(t)是时变矩阵，F_i(t)中的元素是Lebesgue可测的，并且满足F_i^T(t)F_i(t)≤I，其余变量定义同式(4)；

(14)假设式(14)，即存在外部干扰的新的柔性多体航天器姿态运动方程所表示的动态系统状态可测，且该动态系统的各线性子系统可控，则针对存在外部干扰的新的柔性多体航天器姿态运动方程，提出并行分配补偿(PDC)模糊控制器，该模糊控制器的控制规则如下：

控制器规则j：如果z₁(t)是M_j1，并且z₂(t)是M_j2，……，并且z_n(t)是M_jn

那么u(t)＝K_jx(t)，j＝1,2,…,r          (16)

则整个系统的模糊状态反馈控制器可表述为：

u(t)=Σj=1rhi(z)Kjx(t)---(17)]]>

式中，h_j(z)是模糊权值，K_j(j＝1,2,…,r)是模糊控制器增益矩阵；

将式(17)代入式(14),即存在外部干扰的新的柔性多体航天器姿态运动方程和模糊状态反馈控制器组成的整个闭环系统的表达式如下：

x.(t)=Σi=1rΣj=1rhihj{[Ai+BiKj+UiFi(t)(Eai+EbiKj)]x(t)+Hiπ(t)}y(t)=Gx(t)---(18)]]>

式中，h_i，h_j是模糊权值；

(15)给出LMI区域的定义1如下：

定义1：对复平面中的区域D，如果存在一个实对称矩阵L∈R^m×m和实矩阵M∈R^m×m，使得

D={L+sM+s‾MT<0}---(19)]]>

式中，s为任意复数，则称D是一个线性矩阵不等式区域(简记为LMI区域)；矩阵值函数

fD(s)=L+sM+s‾MT---(20)]]>

称为LMI区域D的特征函数，s是复数变量；

特征函数f_D(s)的取值是m×m维的Hermite矩阵，f_D(s)<0表示矩阵f_D(s)是负定的；

由定义1可知复平面上的一个LMI区域就是某个以s和为变量的线性矩阵不等式，或者以x＝Re(s)和y＝Im(s)为变量的线性矩阵不等式的可行域，且此时的LMI区域是凸的；进而，对任意的s∈D，特征函数故因此，LMI区域关于复平面上的实轴是对称的；

(16)根据步骤(15)定义的LMI区域D，给出了线性闭环系统x是D-稳定的充分必要条件，如下定理2所示：

定理2：闭环系统极点位于LMI区域D中，当且仅当存在一个对称正定实矩阵X_pol使得如下不等式成立

[λ_klX_pol+μ_kl(A+BK)X_pol+μ_klX_pol(A+BK)^T]_1≤k,l≤m<0       (21)

式中，A，B和K分别是线性系统的系统、输入和反馈增益实矩阵，L＝L^T＝[λ_kl]_1≤k,l≤m和M＝[μ_kl]_1≤k,l≤m是根据理想闭环系统极点区域确定的已知实矩阵，λ_kl，μ_kl是L,M中的元素；

在此基础上，将定理2描述的LMI区域稳定理论，推广至基于T-S模糊模型的非线性系统中；

(17)由于系统的不确定性，并假设外界干扰有界且可抑制，提出如下定理3：

定理3：式(18)表示的闭环系统的所有极点位于LMI区域D中，当且仅当存在一个对称正定实矩阵X使得如下不等式成立

[λ_klX+μ_klQ_ijX+μ_klX(Q_ij)^T]_1≤k,l≤m<0          (22)

式中，Q_ij＝[A_i+B_iK_j+U_iF_i(t)(E_ai+E_biK_j)]_1≤i,j≤r；

(18)由于存在外界干扰，给出如下假设和定义；

假设1：干扰π(t)有界，且在其连续区域内满足π^T(t)π(t)≤x^T(t)G^TGx(t)；

假设2：控制输入约束为||u||_∞≤u_lim，u_lim为输入上限，干扰输入满足||π||_∞≤π_max，π_max为干扰上限，定义γ＝u_lim/π_max；

定义3：式(18)表示的闭环系统的状态可达集为R_up

Rup={x(t):x,πs.t.(31),x(0)=0,πTπ≤πmax2,t≥0}---(23)]]>

x，π为系统(18)的状态量和干扰量；

(19)根据步骤(18)提出的假设1、假设2和定义3，针对式(18)表示的闭环系统，通过使控制律u(t)同时满足如下条件，从而控制律u(t)成为满足极点约束和控制输入约束的鲁棒H_∞状态反馈控制律，所述同时满足的条件如下；

(i)存在有界干扰的情况下，式(18)表示的闭环系统对所有允许的不确定性是渐近稳定的；

(ii)式(18)表示的闭环系统的极点均配置在指定的D区域内，使闭环系统获得满意的动态性能和D-稳定性；

(iii)在零初始条件下，式(18)表示的闭环系统满足H_∞性能，即||y(t)||₂<γ||π(t)||₂对任意非零的π(t)成立，式中γ>0表示预置的干扰抑制常数；

(iv)在零初始条件下，设椭球包含状态可达集R_up，式中ξ为实矩阵，P为对称正定实矩阵，在椭球Ω内，式(18)表示的闭环系统的控制输入满足约束||u||_∞≤u_lim；

(20)针对步骤(19)的闭环系统的鲁棒稳定性，区域极点约束，H_∞性能，状态可达集，控制输入饱和问题，提出如下定理4；

定理4：对于i,j＝1,…,r，给定标量ρ>0,γ>0，针对复平面上稳定的LMI区域D和模糊闭环系统(18)，如果对所有满足F_i^T(t)F_i(t)≤I的F_i(t)，存在对称正定实矩阵P、实矩阵K_j，使得如下不等式成立

QijTP+PQij+GTGPHiHiTP-I<0---(24)]]>

[λ_klP+μ_klPQ_ij+μ_kl(Q_ij)^TP]_1≤k,l≤m<0      (25)

QijTP+PQij+GTGPHiHiTP-ρ2I<0---(26)]]>

QijTP+PQij+PPHiHiTP-I<0---(27)]]>

PKjTKjγ2I>0---(28)]]>

则状态反馈控制律可以使式(18)表示的闭环系统渐近稳定，满足区域极点约束和H_∞性能，并且椭球包含状态可达集R_up，在椭球Ω内，控制输入满足约束||u||_∞≤u_lim；实矩阵P为闭环系统的一个二次D性能矩阵，系统的H_∞性能指标为ρ，控制输入约束的指标为γ；

(21)由于定理4中的不等式并非线性矩阵不等式LMI，难以求解，为得到式(24)-(28)的LMI表达，使步骤(20)中的不等式(24)-式(28)能够用Matlab求解，假设M＝M^T＝[μ_kl]_1≤k,l≤m并提出如下定理5，如下：

定理5：对于i,j＝1,…,r，给定标量ρ>0,γ>0，针对复平面上稳定的LMI区域D和式(18)表示的闭环系统，如果对所有满足F_i^T(t)F_i(t)≤I的F_i(t)，存在对称正定实矩阵V、实矩阵W_j、标量ε>0，使得如下不等式成立

θ_ii<0(i＝1,…,r)；θ_ij+θ_ji<0(i<j≤r)       (30)

ψ_ii<0(i＝1,…,r)；ψ_ij+ψ_ji<0(i<j≤r)       (31)

α_ii<0(i＝1,…,r)；α_ij+α_ji<0(i<j≤r)       (32)

β_ii>0(i＝1,…,r)；β_ij+β_ji>0(i<j≤r)       (33)

θij=S2μkl(VEaiT+WjTEbiT)μkl(EaiV+EbiWj)-I1≤k,l≤m---(35)]]>

ψij=S3VGTVEaiT+WjTEbiTGV-ϵI0EaiV+EbiWj0-I---(36)]]>

αij=S40VEaiT+WjTEbiT0-I0EaiV+EbiWj0-I---(37)]]>

βij=VWjTWjϵγ2I---(38)]]>

S1=AiV+VAiT+BiWj+WjTBiT+ϵHiHiT+UiUiT---(39)]]>

S2=λklV+μkl(AiV+BiWj)+μkl(VAiT+WjTBiT)+UiUiT---(40)]]>

S3=AiV+VAiT+BiWj+WjTBiT+ϵρ-2HiHiT+UiUiT---(41)]]>

S4=AiV+VAiT+BiWj+WjTBiT+V+ϵHiHiT+UiUiT---(42)]]>

式中，为(34)所示矩阵的元素，θ_ii,θ_ij,θ_ji为(35)所示矩阵的元素，ψ_ii,ψ_ij,ψ_ji为(36)所示矩阵的元素，α_ii,α_ij,α_ji为(37)所示矩阵的元素，β_ii,β_ij,β_ji为(38)所示矩阵的元素，则状态反馈控制律可以使为闭环系统渐近稳定，满足区域极点约束和H_∞性能，并且椭球包含状态可达集R_up，在椭球Ω内，控制输入满足约束||u||_∞≤u_lim；实矩阵εV^-1为闭环系统的一个二次D性能矩阵，系统的H_∞性能指标为ρ，控制输入约束的指标为γ；

(22)根据定理5可知，针对式(18)表示的闭环系统，构造通过matlab的求解，即得到闭环系统满足极点约束和控制输入约束的鲁棒H_∞状态反馈控制律，根据该控制律从而形成闭环系统的模糊鲁棒状态反馈多目标综合控制器。