[发明专利]威布尔分布下极大期望值算法非线性方程组的求解方法

权利要求书

1.一种威布尔分布下极大期望值算法非线性方程组的求解方法，其特征在于：所述求解方法步骤是：

(1)：推导威布尔分布下极大期望值算法非线性方程组；

设概率密度函数f(t)，威布尔分布的密度函数为：

f(t)=λγtγ-e-λtγ-1t≥00t≤0---(15)]]>

其中：λ为尺度参数，γ为形状参数，且λ＞0,γ＞0；

假设对真实数据Y＝(y₁,…,y_k,y_k+1,…,y_n)作观测，得到的只是Y

的函数Z＝(z₁,…,z_k,z_k+1⁺,…,z_n⁺)，其中z_k⁺₊₁,....z_n⁺表示数据有删失；

Y与Z有如下关系：

y_j＝z_j j＝1,…,k   (16)

y_j≥z_j j＝k+1,…,n

记λ⁽ⁱ⁾，γ⁽ⁱ⁾为第i+1次迭代开始时分布参数的估计值，则第i+1

次迭代的两步如下：

E步：

Q(θ|θ(i))=nlnλ+nlnγ+(γ-1)Σj=1nE(lnyi|Z,λ(i),γ(i))-λΣj=1nE(yjγ|Z,λ(i),γ(i))---(17)]]>

M步：

∂Q∂λ=nλ-Σj=1nE(yjγ|Z,λ(i),γ(i))=0∂Q∂γ=nγ+Σj=1nE(lnyj|Z,λ(i),γ(i))-λ∂∂γΣj=1nE(yjγ|Z,λ(i),γ(i))=0]]>

                                       

方程组(18)的解是第i+1次迭代得到的参数估计值；

由于：

Σj=1nE(yjγ|Z,λ(i),γ(i))=Σj=1kzjγ+Σj=k+1n∫zj+∞yjγyjγ(i)-1exp(λ(i)yjγ(i))dyj∫zj+∞yjγ(i)-1exp(-λ(i)yjγ(i))dyj=Σj=1kzjγ+Σj=k+1nλ(i)γ(i)∫zj+∞yjγyjγ(i)-1exp(λ(i)yjγ(i))exp(-λ(i)yjγ(i))---(19)]]>

Σj=1nE(lnyj|Z,λ(i),γ(i))=Σj=1klnzj+Σj=k+1nλ(i)γ(i)∫zj+∞lnyyγ(i)-1exp(-λ(i)yjγ(i))dyexp(-λ(i)zjγ(i))---(20)]]>

∂∂γΣj=1nE(yjγ|Z,λ(i),γ(i))=Σj=1kzjγlnzj+Σj=k+1nλ(i)γ(i)∫zj+∞lnyyγ(i)-1exp(-λ(i)yjγ(i))dyexp(-λ(i)zjγ(i))---(21)]]>

将上面的式子代入(18)式，有

nλ(i+1)Σj=1kzj(i+1)+Σj=k+1nλ(i)γ(i)∫zj+∞yγ(i+1)exp(-λ(i)yγ(i))dyexp(-λ(i)zjγ(i))nγ(i+1)=Σj=1klnzj(λ(i+1)zjγ(i+1)-1)+Σj=k+1nλ(i)γ(i)∫zj+∞lny(λ(i+1)yγ(i+1)-1)yγ(i)-1exp(-λ(i)yγ(i))dyexp(-λ(i)zjγ(i))]]>

nλ=Σj=1kzjγ+Σj=k+1n∫zj+∞λγy2γ-1exp(-λyγ)dyexp(-λzjγ)nγ=Σj=1klnzj(λjγ-1)+Σj=k+1n∫zj+∞λγlny(λγγ-1)yγ-1exp(-λyγ)dyexp(-λzjγ)---(22)]]>

注意到

λγy2γ-1exp(-λyγ)dy=-(yγ+1λ)exp(-λyγ)+C---(23)]]>

∫λγlny(λyγ-1)yγ-1exp(-λyγ)dy=-(λyγlny+1γ)exp(-λyγ)+C---(24)]]>

则(24)式可以化为

kλ=Σj=1nzjγkγ=λΣj=1nzjγlnzj-Σj=1klnzj---(25)]]>

(2)：将非线性方程进行变形，形成F与的函数关系式；

将式(25)变形为

F=kΣj=1nzjγ^-kΣj=1nzjγ^lnzjγ^+(Σj=1klnzjγ^)(Σj=1nzjγ^)---(26)]]>

形成F与的函数关系式；

(3)：通过现场数据的特征找出F随的实际变化规律，确定的取值范围；

对于上述非线性方程组公式，可将其转化为

F=kΣj=1nzjγ^-kΣj=1nzjγ^lnzjγ^+(Σj=1klnzjγ^)(Σj=1nzjγ^)---(14)]]>

利用大量实际工程中真实的删失寿命数据，总结出F与的关系；

(4)：在的范围内定向改变形状参数，将其反向迭代入F函数。同时，通过不断提高精度，迅速求出符合精度要求的形状参数值；

如果F大于0，则继续增大如果F小于0，需要增加每次递增的精度，直到找到满足一定精度的零点。