1.一种基于QoS的多小区下行MIMO鲁棒波束成形方法，该方法包括：
S1，基于QoS的多小区下行MIMO鲁棒波束成形的设计；
由C个小区组成的多小区协作下行MIMO系统，BS之间共享CSI以协作进行波束成形设计，不共享用户数据信号；假设BS均配置M根天线，用户均配置单根天线，每个BS有K个激活用户；由BSi到用户(k,j)的信道矩阵表示为信道经历时间和频率平稳衰弱，信道系数相互独立，且为零均值单位方差的复高斯随机变量；用户(k,i)接收到的信号表示为：
z(k,i)=hi(k,i)v(k,i)x(k,i)+Σl=1,l≠kKhi(k,i)v(l,i)x(l,i)+ρ(k,i)+n(k,i),]]>
其中：为BSi为其小区内用户(l,i)设置的的发送波束成形向量；x(l,i)为BSi对用户(l,i)发送的数据信号，满足E(|x(l,i)x(l,i)|)＝1；n(k,i)是用户(k,i)接收到的噪声，其为零均值方差为σ2的复高斯白噪声；ρ(k,i)是用户(k,i)接收到的小区间干扰信号，即其它协作小区泄露到用户(k,i)的干扰信号，假设用户能够测量此值，并通过上行链路回传给BS，因此对于BS，小区间干扰值已知；用户(k,i)的SINR为：
其中：ε(k,i)＝E(|ρ(k,i)|2)为其它协作小区泄露到用户(k,i)的干扰信号功率；
考虑非理想CSI对性能的影响；采用球形信道估计模型，真实信道与估计信道关系表示如下：
hi(k,j)=h^i(k,j)+Δi(k,j),]]>
是进行信道估计以后得到的CSI，是真实CSI，是信道估计误差，假定即信道估计不确定性区域满足半径为的球形约束；
在满足用户QoS的情况下，将小区间信号泄露功率引入优化函数中，优化问题目标函数为发射功率以及小区间信号泄露功率和，总发射功率作为效应函数，小区间泄露功率作为惩罚函数，其能够获得总发射功率以及小区间泄露功率之间的平衡，从而最大限度地优化系统性能；由于CSI不理想，为了充分保证每个服务用户的QoS，本发明考虑最差情况下的鲁棒波束成形；多小区下行MIMO波束成形问题描述为：
minmax||Δj[k,i]||22≤ϵj(k,i)Σi=1C[Σk=1K||v(k,i)||2+Σq=1t=1,t≠iq=K,t=CΣi=1C(v(k,i))H(hi(q,t))Hhi(q,t)v(k,i)]s.t.max||Δj[k,i]||22≤ϵj(k,i)γ(k,i)≥τ(k,i)∀i,k;]]>
S2，基于QoS的多小区下行MIMO鲁棒波束成形设计问题的近似估计；
该波束成形问题中，由于考虑最差情况而导致约束项中出现min和目标函数中出现max，从而加大了问题求解的复杂性；下面通过引入三角不等式和矩阵的迹相关知识，近似优化该波束成形问题；
信道估计模型代入该波束成形问题的目标函数中，且利用三角不等式，简化过程如下：
max||Δj[k,i]||2≤ϵj(k,i)|(h^i(q,t)+Δi(q,t))v(k,i)|2≤(|h^i(q,t)v(k,i)|+|Δi(q,t)v(k,i)|)2≤|h^i(q,t)v(k,i)|2+|Δi(q,t)v(k,i)|2+2|h^i(q,t)v(k,i)||Δi(q,t)v(k,i)|≤|h^i(q,t)v(k,i)|2+||Δi(q,t)||22||v(k,i)||22+||h^i(q,t)||2||Δi(q,t)||2||v(k,i)||22≤|h^i(q,t)v(k,i)|2+||v(k,i)||22[(ϵi(q,t))2+2||h^i(q,t)||2(ϵi(q,t))2];]]>
同样，信道估计模型代入该波束成形问题的约束项中，约束项的分母近似为：
max||Δj(k,i)||2≤ϵj(k,i)|(h^i(k,i)+Δi(k,i))v(l,i)|2≤|h^i(k,i)v(l,i)|2+||v(l,i)||2[(ϵi(k,i))2+2||h^i(k,i)||2(ϵi(k,i))2];]]>
约束项的分子近似为：
max||Δj(k,i)||2≤ϵj(k,i)|h^i(k,i)v(k,i)+Δi(k,i)v(k,i)|2≤(|h^i(k,i)v(k,i)|-|Δi(k,i)v(k,i)|)2≤|h^i(k,i)v(k,i)|2+||v(k,i)||22[(ϵi(k,i))2-2||h^i(k,i)||2(ϵi(k,i))2];]]>
该波束成形问题化简为：
minΣi=1C{Σk=1K||v(k,i)||2+Σq=1t=1,t≠iq=K,t=CΣk=1K|h^i(q,t)v(k,i)|2+Σq=1t=1,t≠iq=K,t=CΣk=1K||v(k,i)||22[(ϵi(q,t))2+2||h^i(q,t)||2(ϵi(q,t))2]}]]>
s.t.|h^i(k,i)v(k,i)|2+||v(k,i)||22[(ϵi(k,i))2-2||h^i(k,i)||2(ϵi(k,i))2]Σl=1l≠kKi|h^i(k,i)v(l,i)|2+Σl=1l≠kKi||v(l,i)||22[(ϵi(k,i))2+2||h^i(k,i)||2(ϵi(k,i))2]+ϵ(k,i)+σ2≥τ(k,i)∀i,k]]>
假设
αi(q,t)=(ϵi(q,i))2-2||hi(q,t)||2(ϵi(q,t))2∀q,t,iβi(q,t)=(ϵi(q,i))2-2||hi(q,t)||2(ϵi(q,t))2∀q,t,i,]]>
得到近似问题为：
minΣi=1C{Σk=1K||v(k,i)||2+Σq=1t=1,t≠iq=K,t=CΣk=1K|h^i(q,t)v(k,i)|2+Σq=1t=1,t≠iq=K,t=CΣk=1Kαi(q,t)||v(k,i)||22}s.t.|h^i(k,i)v(k,i)|2+βi(k,i)||v(k,i)||22Σl=1l≠kK|hi(k,i)v(l,i)|2+Σl=1l≠kK||v(l,i)||22αi(k,i)+ϵ(k,i)+σ2≥τ(k,i)∀i,k;]]>
S3，迭代算法，求解估计后的波束成形设计问题的算法；
所述S3中，迭代算法为：
步骤1、上下行链路波束成形问题转换；
下行多小区MIMO协作发送波束成形问题与上行对偶链路接收波束成形问题等价，上行问题表示如下：
minλ(k,i)Σk,iλ(k,i)(ϵ(k,i)+σ2)s.t.Λ(k,i)≥τ(k,i)∀k,iλ(k,i)≥0∀k,i,]]>
其中Λ(k,i)表示为：
Λ(k,i)=maxv^(k,i)λ(k,i)(v^(k,i))H[(h^i(k,i))Hh^i(k,i)+βi(k,i)]v^(k,i)(v^(k,i))H{I+Σq=1t=1,t≠iq=K,t=C[(h^i(q,t))Hh^i(q,t)+αi(q,t)]+Σl=1Kλ(l,i)[(h^i(l,i))Hh^i(l,i)+αi(l,i)]-λ(k,i)[αi(k,i)+(h^i(k,i))Hh^i(k,i)]}v^(k,i)]]>
注：表示对偶上行链路接收波束成形向量，λ(k,i)是拉格朗日乘子，可以理解为上行链路中用户(k,i)的发射信号功率；
证明：下行多小区MIMO协作发送波束成形问题变换为标准SOCP问题，并利用标准凸优化工具包求解，因此对于下行波束成形问题而言，强对偶性成立；强对偶性能够确保原问题与其拉格朗日对偶问题具有相同的最优值，因此可以利用拉格朗日对偶理论，证明上述对偶性；
首先对下行问题建立拉格朗日函数：
L(v,λ)=Σi=1C{Σk=1K||v(k,i)||2+Σq=1t=1,t≠iq=K,t=CΣk=1K|h^i(q,t)v(k,i)|2+Σq=1t=1,t≠iq=K,t=CΣk=1Kαi(q,t)||v(k,i)||22}+Σk,iλ(k,i)[ϵ(k,i)+σ2+Σl=1l≠kK|h^i(k,i)v(l,i)|2+Σl=1l≠kK||v(l,i)||22αi(k,i)-1τ(k,i)(|h^i(k,i)v(k,i)|2+βi(k,i)||v(k,i)||22)]=Σk,iλ(k,i)(ϵ(k,i)+σ2)+Σk,i(v(k,i))HA(k,i)v(k,i),]]>
其中，λ(k,i)为拉格朗日乘子，其满足λ(k,i)≥0，A(k,i)表示如下：
A(k,i)=I+Σq=1t=Ct=1,t≠iq=K[(h^i(q,t))Hh^i(q,t)+αi(q,t)]+Σl=1Kλ(l,i)[(h^i(l,i))Hh^i(l,i)+αi(l,i)]-λ(k,i)[αi(k,i)+(1+1τ(k,i))(h^i(k,i))Hh^i(k,i)+1τ(k,i)βi(k,i)];]]>
对偶问题的目标函数为在无约束条件下拉格朗日函数的最小值，即求得：
仅当A(k,i)为半正定矩阵时，拉格朗日函数具有最小值，且最小值为所以下行问题的拉格朗日对偶优化问题为，
maxλ(k,i)Σk,iλ(k,i)(ϵ(k,i)+σ2)s.t.A(k,i)≥0∀k,iλ(k,i)≥0∀k,i;]]>
下面将上式转换为对偶上行链路的接收波束成形问题，假设上行链路最优的接收波束成形向量为根据半正定矩阵的定义：
A(k,i)≥0⇔(v^*(k,i))HA(k,i)v^*(k,i)≥0,]]>
将上式做适当变形，写成分式形式，表示为：
λ(k,i)(v^*(k,i))H[(h^i(k,i))Hh^i(k,i)+βi(k,i)]v^*(k,i)(v^*(k,i))H{I+Σq=1t=1,t≠iq=K,t=C[(h^i(q,t))Hh^i(q,t)+αi(q,t)]+Σl=1Kλ(l,i)[(h^i(l,i))Hh^i(l,i)+αi(l,i)]-λ(k,i)[αi(k,i)+(h^i(k,i))Hh^i(k,i)]}v^*(k,i)≤τ(k,i)]]>
可以得到对偶优化问题：
maxλ(k,i)Σk,iλ(k,i)(ϵ(k,i)+σ2)s.t.(v^*(k,i))HA(k,i)v^*(k,i)≥0∀k,iλ(k,i)≥0∀k,i,]]>
而对于上行波束成形问题，使得上下链路SINR最大的必定是最优接收波束成形向量上行波束成形问题重写为：
minλ(k,i)Σk,iλ(k,i)(ϵ(k,i)+σ2)]]>
s.t.λ(k,i)(v^*(k,i))H[(h^i(k,i))Hh^i(k,i)+βi(k,i)]v^*(k,i)(v^*(k,i))H{I+Σq=1t=1,t≠iq=K,t=C[(h^i(q,t))Hh^i(q,t)+αi(q,t)]+Σl=1Kλ(l,i)[(h^i(l,i))Hh^i(l,i)+αi(l,i)]-λ(k,i)[αi(k,i)+(h^i(k,i))Hh^i(k,i)]}v^*(k,i)]]>
≥τ(k,i)∀k,i]]>
λ(k,i)≥0∀k,i]]>
上行波束成形问题和下行波束成形问题中只有优化函数中max、min和约束项中≤、≥不相同，根据凸优化对偶知识可知，上述两个问题是等价的，即拥有相同的最优值；证明完毕；
步骤2、求解上行对偶问题；
若上行链路接收波束成形向量确定，则使得上行链路接收波束成形问题获得最优值的λ(k,i)必然使得该问题的约束项等式成立，即：
Λk,i=τ(k,i)∀k,i,]]>
这样可以获得C×K个等式组成的线性方程组，通过求解这个线性方程组就能够得到λ(k,i)的解，上式变形如下：
λ(k,i)(v^(k,i))H1τ(k,i)[(h^i(k,i))Hh^i(k,i)+βi(k,i)]v^(k,i)-(v^(k,i))H{Σl=1l≠kKλ(l,i)[(h^i(l,i))Hh^i(l,i)+αi(l,i)]}v^(k,i)=(v^(k,i))H{I+Σq=1t=1,t≠iq=K,t=C[(h^i(q,t))Hh^i(q,t)+αi(q,t)]}v^(k,i)∀k,i;]]>
把上述C×K等式组成的线性方程组写成由C个矩阵等式组成的线性方程组形式：
Eiλi=fi∀i,]]>
其中Ei∈CK×K，λi∈C1×K，fi∈C1×K，定义分别如下：
[Ei]m,n=(v^(m,i))H1τ(m,i)[(h^i(m,i))Hh^i(m,i)+βi(m,i)]v^(m,i)m=n-(v^(m,i))H{[(h^i(n,i))Hh^i(n,i)+αi(n,i)]}v^(m,i)m≠n,]]>
fi=[(v^(1,i))H{I+Σq=1t=1,t≠iq=K,t=C[(h^i(q,t))Hh^i(q,t)+αi(q,t)]}v^(1,i)]H,...,[(v^(K,i))H{I+Σq=1t=1,t≠iq=K,t=C[(h^i(q,t))Hh^i(q,t)+αi(q,t)]}v^(K,i)]HH,]]>
λi＝[(λ(1,i))T,...,(λ(K,i))T]T，
因此：
λi=[Ei]-1fi∀i;]]>
接下来来优化若拉格朗日乘子λ(k,i)固定，则上行链路接收波束成形问题变化为求解最大的从而使得输出SINR最大，因此：
v^(k,i)=λ(k,i)Φmax[D-1((h^i(k,i))Hh^i(k,i)+βi(k,i))],]]>
其中，D为：
D=I+Σq=1t=1t≠iq=K,t=C[(h^i(q,t))Hh^i(q,t)+αi(q,t)]+Σl=1Kλ(l,i)[(h^i(l,i))Hh^i(l,i)+αi(l,i)]-λ(k,i)[αi(k,i)+(h^i(k,i))Hh^i(k,i)]]]>
至此，获得了上行链接收路波束成形问题的求解算法；
步骤3、将上行链路波束成形解转换到下行链路波束成形解；
下行链路最优发送波束成形v*(k,i)与对偶上行链路最优接收波束成形满足如下关系：
v*(k,i)=μ(k,i)v^*(k,i),(μ(k,i)>0),]]>
上式表明，v*(k,i)与为线性关系，若获得μ(k,i)，则即可获得原下行波束成形问题的解；下面来求解获得μ(k,i)同理，下行波束成形问题获得最优值时，其约束条件等号成立，将SINR代入到上式中，并且取等式，得到：
(|h^i(k,i)v^*(k,i)|2+βi(k,i)||v^*(k,i)||22)μ(k,i)-(Σl=1l≠kKi|h^i(k,i)v^*(l,i)|2+Σl=1l≠kKi||v^*(l,i)||22αi(k,i))μ(k,i)=ϵ(k,i)+σ2∀k,i,]]>
把上述C×K个等式组成的线性方程组写成由C个矩阵等式组成的线性方程组形式：
Biui=gi∀i,]]>
其中定义分别如下：
[Bi]m,n=|h^i(m,i)v^(k,i)|2+βi(m,i)||v^(m,i)||22m=n-(Σl=1l≠kK|h^i(m,i)v^(n,i)|2+Σl=1l≠kK||v^(m,i)||22αi(m,i))m≠n,]]>
gi＝[(ε(1,i)+σ2)T,...,(ε(K,i)+σ2)T]T，
ui＝[(u(1,i))T,...,(u(K,i))T]T，
因此：
μi=(Bi)-1gi∀i.]]>
