[发明专利]一种基于T-S双线性模型的非线性关联大系统的分散控制方法

权利要求书

1.一种基于T-S双线性模型的非线性关联大系统的分散控制方法，其特征在于，按照以 下步骤进行：

设计时滞模糊双线性关联大系统；

一类由S个子系统Ω_i，i＝1，2，...，S组成带有时变时滞的模糊双线性关联大系统Ω，第 i个子系统Ω_i可表示为：

Rimfξi1(t)isFi1mand...andξivi(t)isFivimthenx.i(t)=Aimxi(t)+Bimui(t)+Nimxi(t)ui(t)+Aidmxi(t-di(t))+Bidmui(t-di(t))+Nidmxi(t-di(t))ui(t-di(t))+Σj=1,j≠iSCjimxj(t)xi(t)=φi(t)t=-τi0m=1,2,...,ri---(1)]]>

其中：是第i个子系统Ω_i的模糊规则，s是子系统的数目；m＝{1，2，...，r_i}，r_i是第i个子系统的模糊规则的数目；分别是模糊集合和前提变量； 分别是状态向量和控制输入；是已知的系统矩 阵；是第j个子系统对第i个子系统的关联作用矩阵；d_i(t)是系统的时滞项，是连续 可微函数且满足0≤d_i(t)≤τ_i和

通过单点模糊化，乘积推理和中心平均反模糊化方法，模糊控制系统的总体模型为：

x.i(t)=Σm=1rihim(ξi(t))[Aimxi(t)+Bimui(t)+Nimxi(t)ui(t)+Aidmxi(t-di(t))+Nidmxi(t-di(t))ui(t-di(t))+Bidmui(t-di(t))+Σj=1,j≠iSCjimxj(t)]---(2)]]>

其中：μ_inj(ξ_i(t))是ξ_j(t)在中的隶属度函数；假 设由h_im(ξ_i(t))的定义可知：分别简记h_im(ξ_i(t))，x_i(t-d_i(t))，u_i(t-d_i(t))为h_im，x_id(t)，u_id(t)；

根据并行分布补偿算法，考虑局部反馈控制器：

fξi1(t)isFi1mand...andξivi(t)isFivimthenui(t)=ρiKimxi(t)1+xiTKimTKimxi=ρisinθim=ρicosθimKimxi(t)---(3)]]>

这里：是待求的控制器增益，ρ_i＞0是待定的标量，

由(3)可类似的得到：

这里：

则全局分散控制律可表示为：

在控制律(5)的作用下，整个闭环系统的方程可表示为：

x.i(t)=Σm,n=1rihimhin[Λi,mnxi(t)+Λi,dmnxid(t)+Σj=1,j≠isCjimxj(t)]---(6)]]>

这里：Λ_i，mn＝A_im+ρ_isinθ_inN_im+ρ_icosθ_inB_imK_in，

定理1：对于给定的正常数ρ_i，α_i，i＝1，2，...，S，如果对于给定的正常数ε_1i，ε_2i，i＝1， 2，...，S存在正定对称矩阵P_i＞0，R_i＞0，i＝1，2，...，S和矩阵K_im，i＝1，2，...，S；m＝1， 2，...，r_i满足矩阵不等式(7)，则关联大系统(5)是渐近稳定的；

Φ_i，mm＜0i＝1，2，...，S；m＝1，2，...，r_i(7a)

Φ_i，mn+Φ_i，nm＜0i＝1，2，...，S；1≤m＜n≤r_i(7b)

其中：

φi,1mn=AimTPi+PiAim+(ϵ1i+ϵ2i)ρi2PiPi+ϵ1i-1NimTNim+ϵ1i-1(BimKin)T(BimKin)+Σj=1,j≠iSPiCjimCjimTPi+(S-1)I+Ri,]]>

φi,2mn=ϵ2i-1NidmTNidm+ϵ2i-1(BidmKin)T(BidmKin)-(1-αi)Ri.]]>

证明：选取如下Lyapunov函数：

V(t)=Σi=1SVi(t)=Σi=1S[xiT(t)Pixi(t)+∫t-di(t)txiT(s)Rixi(s)ds]---(8)]]>

沿着系统(6)的轨线，对V(t)求导，可得到：

V.(t)=Σi=1SΣm,n=1rihimhin[x.iT(t)Pixi(t)+xiT(t)Pix.i(t)+xiT(t)Rixi(t)-(1-d.i)xidT(t)Rixid(t)]≤Σi=1SΣm,n=1rihimhin[xiT(t)(Λi,mnTPi+PiΛi,mn)xi(t)+xidT(t)Λi,dmnTPixi(t)+xiT(t)PiΛi,dmnxid(t)+Σj=1j≠iSxjT(t)CjimTPixi(t)+xiT(t)PiΣj=1,j≠isCjimxj(t)+xiT(t)Rixi(t)-(1-αi)xidT(t)Rixid(t)]---(9)]]>

考虑下式，并由引理1可得到：

Λi,mnTPi+PiΛi,mn=AimTPi+PiAim+(ρisinθinNim)TPi+Pi(ρisinθinNim)+(ρicosθinBimKin)TPi+Pi(ρicosθinBimKin)≤AimTPi+PiAim+ϵ1iρi2PiPi+ϵ1i-1NimTNim+ϵ1i-1(BimKin)T(BimKin),xidT(t)Λi,dmnTPixi(t)+xiT(t)PiΛi,dmnxid(t)≤xidT(t)AidmTPixi(t)+xiT(t)PiAidmxid(t)+xiT(t)ϵ2iρi2PiPixi(t)+xidT(t)ϵ2i-1NidmTNidmxid(t)+xidT(t)ϵ2i-1(BidmKin)T(BidmKin)xid(t),---(10)]]>

同理可得到：

Σi=1SΣm=1rihim[Σj=1,j≠iSxjT(t)CjimTPixi(t)+xiT(t)piΣj=1,j≠isCjimxj(t)]=Σi=1SΣm=1rihim[x1T(t)C1imTPixi(t)+...+xi-1T(t)Ci-1imTPixi(t)+xi+1T(t)Ci+1imTPixi(t)+...+xST(t)CSimTPixi(t)+xiT(t)PiC1imx1(t)+...+xiT(t)PiCi-1imxi+1(t)+xiT(t)PiCi+1imxi+1(t)+...xiT(t)PiCSimxS(t)]≤Σi=1SΣm=1rihim[xiT(t)PiΣj=1,j≠iSCjimCjimTPixi(t)+Σj=1,j≠iSxjT(t)xj(t)]=Σi=1SΣm=1rihim[xiT(t)PiΣj=1,j≠iSCjimCjimTPixi(t)+(S-1)xiT(t)xi(t)]---(11)]]>

把(9)、(10)、(11)带入(8)，并记可得到：

V.(t)≤Σi=1SΣm,n=1rihimhinηiT(t)Φi,mnxi(t)ηi(t)=Σi=1S[Σm=1rihim2ηiT(t)Φi,mmηi(t)+Σi=m<nrihimhinηiT(t)(Φi,mn+Φi,nm)ηi(t)]---(12)]]>

根据定理1中的(7)可知所以可知关联大系统(6)是渐近稳定的；

考虑定理1中的(7)是一个双线性矩阵不等式，不能直接由LMI工具箱求解，把双线性矩 阵不等式转换成LMI，给出控制器的设计方法：

定理2：对于给定的正常数α_i，ρ_i，i＝1，2，...，s，如果对于给定的正常数ε_1i，ε_2i，i＝1， 2，...，s存在着矩阵和矩阵满足矩阵不 等式(13)，则关联大系统(5)是渐近稳定，且控制器增益为：K_im＝G_imZ^-1，i＝1，2，...，S；m＝ 1，2，...，r_i.；

Ti,m******ZiAidmT-(1-αi)R‾i*****Zi0-Is-1****NimZi00-ϵ1iI***BimGim000-ϵ1iI**0NidmZi000-ϵ2iI*0BidmGim0000-ϵ2iI<0,i=1,2,...,S;m=1,2,..,ri---(13a)]]>

Ti,m+Ti,n******ZiAidmT+ZiAidnT-2(1-αi)R‾i*****2Zi0-2Is-1****(NZ)i,mn‾00-t55***(BG)i,mn‾000-t66**0(NdZ)i,mn‾000-t77*0(BdG)i,mn‾0000-t88<0,i=1,2,...,S;1≤m<n≤ri---(13b)]]>

这里：

(NZ)i,mn‾=NimZiNinZi,(BG)i,mn‾=BimGinBinGim,(NdZ)i,mn‾=NidmZiNidnZi,(BdG)i,mn‾=BidmGinBidnGim,]]>

t₄₄＝t₅₅＝diag{ε_1iI，ε_1iI}，t₆₆＝t₇₇＝diag{ε_2iI，ε_2iI}.

证明：选取并记由K_im＝G_imZ^-1可知，M_im＝K_imZ；

对(13a)同时左右乘diag{P_i，P_i，I，I，I，I，I}可得到：

PiTi,mPi******AidmTPi-(1-αi)Ri*****I0-Is-1****Nim00-ϵ1iI***BimKim000-ϵ1iI**0Nidm000-ϵ2iI*0BidmKim0000-ϵ2iI<0,i=1,2,...,S;m=1,2,..,ri---(14a)]]>

由Schur补定理可知(14a)成立可等价于(7a)成立；同理由(13b)可推导出(7b)成立；这 样由定理1可知在所设计的控制器下，模糊双线性关联大系统渐近稳定。