[发明专利]基于稀疏优化的缺陷幻方求解方法

说明书

技术领域

本发明属于应用于益智类问题中对缺陷幻方的求解分析，特别涉及一种基于稀疏 优化的缺陷幻方求解方法。

背景技术

幻方问题是具有悠久历史的复杂排列组合问题。n阶幻方是一个n×n的矩阵，其元 素为1到n²的n²个不重复的自然数，且每一行、每一列及两条对角线上的元素之和都是一个 确定的数，这个数称为幻和，值为n(n²+1)/2。缺陷幻方是指带有指示约束的幻方。

缺陷幻方求解问题是一个组合优化问题，同样也是一个NP-hard问题。最原始的求 解缺陷幻方问题的方法是基于组合算法的穷举法，优点是只要在能容忍的时间限度内来复 原，则穷举法可以求出最优解集，缺陷是时间复杂度高，存在组合爆炸问题。其次是免疫遗 传算法与禁忌搜索算法相混合的智能优化算法，它克服了穷举法的局限性，降低穷举法中 的无效组合合并的问题，同时要保留穷举法的优点，但该算法还依赖组合算法，算法的复杂 性非常高。另外，杨俊平等用代数方法探讨幻方的解，提出了一些特殊幻方的构造问题，但 这种方法适用于低阶幻方，且着重于构造幻方，对缺陷幻方的求解问题并未多做探讨。

发明内容

本发明的目的在于克服上述缺陷，设计一种基于稀疏优化的缺陷幻方求解方法。

本发明的技术方案是：

基于稀疏优化的缺陷幻方求解方法，该方法的步骤如图1所示，对于n阶幻方，其特 征在于如下步骤：

(1)针对幻方的性质提出约束规划，将缺陷幻方的求解问题转化约束规划问题；

(2)对于缺陷幻方的解x，将其放宽到实数域，每一点x_ij用n²个0～1之间的实数x_ijk(k＝1,2,…,n²)表示，将约束问题转化为线性方程组。其中约束条件包括：

(2-1)格约束条件，即每个幻方由1～n²这n²个数字填充，不能重复；

(2-2)填充约束条件，即每个格子必须填充1～n²之间的一个数；

(2-3)提示约束条件，即表示缺陷幻方中已存在的提示；

(2-4)行和约束条件，即幻方中每一行的元素和应为n(n²+1)/2；

(2-5)列和约束条件，即幻方中每一列的元素和应为n(n²+1)/2；

(2-6)主对角线和约束条件，即幻方中主对角线的元素和应为n(n²+1)/2；

(2-7)次对角线和约束条件，即幻方中次对角线的元素和应为n(n²+1)/2；

(3)将约束条件稀疏化，得到目标函数和约束条件；

(4)用l₁范数近似，将求解缺陷幻方问题转化为线性规划问题；

(5)采用内点法、对偶单纯形法和分支定界法求解规划问题；

(6)解决新的幻方问题，幻方中嵌套小幻方；

(7)将此方法应用于幻立方中，得到线性规划模型。

所述步骤(1)将缺陷幻方的求解问题转化约束规划问题。对于n阶缺陷幻方，假设 解为x，则一种简化的约束规划形式为：