[发明专利]一种反常扩散中的基于分步计算的离散分数阶差分方法

说明书

技术领域

本发明涉及一种离散分数阶差分方法，特别是涉及一种反常扩散中的基于分步计算的离散分数阶差分方法，属于数值模拟技术领域。

背景技术

在环境、水利、化工、能源等许多工程领域，流体的动量、热量和质量等基本参量在流动过程中的运移扩散问题备受关注。各类流体流动和传热传质问题的根本解决，都必须基于对流体环境中运移扩散规律的科学把握，以便了解流体或其中含有物质随时空的变化情况。而随着人类认知世界水平的提高，反常扩散这个现象越来越普遍和受到关注。

分数阶导数建模已经普遍应用在复杂介质中物质的扩散问题，但是由于其定义的连续性，导致在一些非连续扩散现象的建模上受到质疑。最近，Atici，Torres等人提出了时标上的分数阶差分，Dumitru和吴国成等人发展了离散分数阶模型，并应用在信号处理，图像加密和反常扩散领域。但是，现有的离散分数阶差分方法布点数仍存在受限于gamma函数和计算效率不高的缺点。

发明内容

本发明的主要目的在于，克服现有技术中的不足，提供一种反常扩散中的基于分步计算的离散分数阶差分方法，不仅扩展原来方法模拟的范围，减小gamma函数计算的限制，而且大幅提高计算效率，具有积极的工程实践意义。

为了达到上述目的，本发明所采用的技术方案是：

一种反常扩散中的基于分步计算的离散分数阶差分方法，包括以下步骤：

1)在所考察物质的内部和边界配置若干测试点，获得这些测试点的扩散浓度u，确定相应的参数，包括初边条件和扩散系数，并根据经验公式确定分数阶阶数；

2)采用离散分数阶差分方法离散控制方程，根据所要数值模拟物质所分布的尺度确定网格点数，网格点数包括时间点数和空间点数；其中，时间点数为N_t+1，空间点数为N_x+1，N_t为时间段数，N_x为空间段数；

3)确定反常扩散的时间空间分数阶反常扩散方程，并得到时间空间反常扩散方程的离散格式；

将时间空间反常扩散方程的离散格式中的两个gamma函数的比值看做一个参数G，分别根据时间分数阶导数的阶数、时间点数和空间分数阶导数的阶数、空间点数，计算得到时间方向gamma函数的比值G_t和空间项gamma函数的比值G_x；

4)将时间方向gamma函数的比值G_t和空间项gamma函数的比值G_x代入离散控制方程，加入初边条件；

5)通过离散格式中显格式的数值格式，得到扩散浓度u的数值结果。

本发明进一步设置为：所述步骤3)中的确定反常扩散的时间空间分数阶反常扩散方程，并得到时间空间反常扩散方程的离散格式，具体为，

对于描述的反常扩散的时间空间分数阶反常扩散方程为，

其中，为Caputo定义下的时间分数阶导数，C为Caputo定义，0和t为时间的起点和终点，α为时间分数阶导数的阶数；和合在一起为Riesz定义下的空间分数阶导数，x^-为x位置的左邻域，b为空间上的右端点，x⁺为x位置的右邻域，a为空间上的左端点，β为空间分数阶导数的阶数，x^-＝(n-1)h_x,x⁺＝(n+1)h_x,x＝nh_x,1≤n≤N_x-1；x为空间上的位置，D为扩散系数，A为对流系数，h_t为时间步长，h_x为空间步长，m为时间分数阶导数的阶数α向上取整，v为时间分数阶导数的阶数α；

时间离散分数阶导数的离散形式为，

其中，和分别为第i个点的位置第k个时刻和第k+1个时刻的浓度；扩散浓度u的上标表示时间上的时刻、下标表示空间点的位置；

空间离散分数阶导数的离散形式包括右空间差分和左空间差分，

右空间差分，即右空间的离散形式为，

其中，u_n+j、u_n+j+1和u_n+j-1分别为第n+j个点、第n+j+1个点和第n+j-1个点的位置的浓度；

左空间差分，即左空间的离散形式为，