[发明专利]基于环境激励数据的多次测试下贝叶斯模型修正方法

权利要求书

1.一种基于环境激励数据的多次测试下贝叶斯模型修正方法，其特征在于，分两个阶段，

第一阶段是对多次测试下采集的环境激励下结构加速度数据进行分析，得到每次测试测得的结构的固有频率和振型，并计算这些模态参数的不确定性，用协方差矩阵来表示；

第二个阶段是基于多次测试得到的结构模态参数及其协方差矩阵，基于贝叶斯理论构建目标函数，通过对目标函数的优化，得到需要修正的有限元模型的模型参数的最优值；

总体构建方法如下：

从结构动力学的基本原理出发，考虑一个线弹性的结构满足以下的动力方程：

这里M,C,K分别表示结构的质量，阻尼和刚度矩阵，W是外力向量；假设该结构满足经典阻尼，结构的加速度从下式得到：

这里，u_i是第i阶全振型向量，是第i阶模态的模态加速度响应；刚度质量的关系通过以下特征方程得到：

这里ω_i表示结构的第i阶固有频率；让θ表示与结构的刚度矩阵K和质量矩阵M相关的结构参数；已知刚度和质量矩阵，结构的固有频率和全振型通过特征值分解得到，因此，构建一个理论模型来进行模型修正从而确定θ；

让D＝{D_i:i＝1,...,n_s}表示多次测试得到的用来进行结构模态识别的数据，其中D_i表示第i次测试得到的数据，基于两阶段的模型修正公式和多次测试数据，得到结构参数θ的后验分布：

其中，p(θ)表示结构参数的先验分布；由固有频率和部分振型组成，由于可以通过有限元模型得到，其提供了在模型修正过程中第一阶段和第二阶段相互关联的以下信息；条件概率密度函数表示给定结构模型参数的条件下，结构模态参数的先验概率分布；表示综合了多次测试数据的的边缘后验分布，这里在第一阶段的先验分布被认为是均匀分布；假设有限元模型在预测结构模态参数的过程中不存在模型误差，那么条件概率密度函数通过一个Dirac-Delta方程得到：

这里，

其中，和分别表示固有频率和振型的理论解，它们通过解特征方程得到；

所述第二阶段：贝叶斯模型修正，具体流程：

3.1构建目标结构的有限元模型

建立目标结构的有限元模型，在后续的模型修正过程中，直接进行调用；

3.2输入模态参数及输出模型参数的选择

选定第一阶段获得的需要输入的多次测试得到的多组模态参数，同时根据有限元模型，选定需要修正的模型参数，模型参数数目需要根据测点信息及输入模态信息相对应；

3.3构建目标函数并优化(贝叶斯模型修正后验概率密度函数)

定义选择矩阵，将全局振型和在单次测试下得到的振型关联起来，从而基于多次测试数据构建模型参数的后验概率密度函数；

3.3.1选择矩阵

全局振型Φ^(r)通过定义一个选择矩阵L_i来将其与i次测试时得到的振型关联；这个矩阵中，当自由度s在第r频道被测到，那么(r,s)对应的数值就等于1，其他值等于0.第i次测试的振型可以从以下公式得到：

假设第i次测试的振型向量正则化为1；

3.3.2多次测试下模型参数的后验概率密度函数

让α＝{α_i,i＝1,...,n_s}表示所有测试下的模态参数；基于贝叶斯理论，给定所有测试的数据，α的后验概率密度函数通过下式得到：

给定α，假设在多次测试下数据在统计上是独立的，因此

这里应该注意到p(D_i|α)与其他测试时的参数无关，因此

p(D_i|α)＝p(D_i|α_i) (22)

从而

其中，

这里由i次测试得到的固有频率和部分振型组成

其中f_i和Φ_i分别表示在i次测试下所有选择的频率段内所有频率和阻尼比；参数υ_i由i次测试下剩下的其他模态参数组成，

υ_i＝{ζ_i,S_i,S_ei} (26)

其中ζ_i,S_i和S_ei分别表示在i次测试下所有选择的频率段内阻尼比，模态力的功率谱密度和预测误差的功率谱密度；

因此，基于贝叶斯定理，公式(23)由下式得到：

因为p(D)和p(D_i)可以认为是常数，所以公式(27)重新写为：

假设先验信息为均匀分布，得到：

因此，在第i次测试时，第一阶段的模态参数的后验概率密度函数p₀(α_i|D_i)从下式得到：

其中表示负对数似然函数，

假设每个是在全局范围内可识别的，在i次测试下，在公式(30)中的每个的后验概率密度函数近似为一个高斯分布，其均值为最大可能值协方差矩阵为识别的模态参数协方差矩阵其分布写为：

在i次测试下，的边缘后验概率分布函数仍然是一个高斯分布，因此

其中和分别为的最优值和协方差矩阵，其从对应的和中的某一部分提取；

考虑多次测试下，基于公式(29)，得到：

其中

同时

假设固有频率和振型完全由结构模型参数决定，将(5)和(33)代入(4)，后验概率密度函数p(θ|D)表示为：

其中

这里表示在第r个频域段由有限元模型计算得到的固有频率，其中表示由有限元模型计算得到的对应测试自由度的振型；

3.3.3负对数似然函数的重构

由于振型存在着范数约束，在公式(37)中计算时会出现数值计算问题，为此，在计算过程中通过计算矩阵的特征基；经过重构，公式(37)写为：

这里和分别是在i次测试下的r频域段中的汉森矩阵的特征值和特征向量；通过重构，不需要计算任何矩阵的逆；

基于目标函数(39)，通过输入模态参数及其协方差矩阵编写程序，优化使其达到最小值；若程序收敛，可以得到模型修正参数θ的最优值；若程序不收敛，那么需要回到开始的地方，调整有限元模型及选择模型修正参数进行循环计算，直至程序收敛；

3.4结构模型参数不确定性计算

在二次泰勒近似的情况下，当θ达到最优值时，后验协方差矩阵可以通过计算负对数似然函数的汉森矩阵的逆来得到，该汉森矩阵可以通过有限差分法来得到，实现评估得到的模型参数的不确定性；