[发明专利]一种基于凸组合法的时变时滞系统的反馈控制器设计方法

权利要求书

1.一种基于凸组合法的时变时滞系统的反馈控制器设计方法，其特征在于：该控制器设计过程如下：

a.建立变时滞系统模型，

其中：x(t)∈Rⁿ为系统的状态向量；A、A₁均为已知适维矩阵；是连续初始向量函数；变时滞h(t)满足：0≤h_d≤h(t)≤h_D，其中，0≤h_d≤h_D和μ≥0是常数；

b.将时滞区间分割，将时滞区间分成N份等距的小区间，N>0,且是整数，则h_i(i＝1,2,...,N+1)满足：h_d＝h₁<h₂<…<h_N<h_N+1＝h_D，其中每个小区间的长度为h_α＝h_i+1-h_i＝(h_D-h_d)/N；

c.对系统进行稳定性分析，在分析过程中，引入引理1、引理2、引理3、引理4；

d.构造Lyapunov-Krasovskii泛函，对泛函进行求导，根据步骤b中的引理1、引理2、引理3、引理4最终得到系统稳定性条件，

当h(t)∈[h_i,h_i+1]时，本发明构造Lyapunov-Krasovskii泛函为：

其中，

V_i1(t)＝ξ^T(t)Pξ(t)，

其中，

沿系统(1)的轨迹可得泛函V(t)的导数为：

运用引理1和引理2可得下列式子成立：

其中

运用引理3得到

其中，δ^T(t)＝[x^T(t-h_i) x^T(t-h(t)) x^T(t-h_i+1)]，

令

则

其中，

因此结合不等式(9)～(13)得到

对于h(t)∈[h_i,h_i+1]，，根据引理4，若下列不等式成立：

则有：

则有由Lyapunov稳定性理论可知，系统(1)是渐近稳定的；

e.得出系统稳定性的条件-定理1：对于给定标量0<h_d<h_D和0≤μ<1，系统是渐近稳定的，若存在正定矩阵Q_i>0(i＝1,2,3)，R_i>0(i＝1,2)及U_i>0(i＝1,2)；以及任意合适维数的矩阵T_j，Y_j(j＝1,2,3),使下面的矩阵不等式成立：

其中，

Ξ₁₂＝-P₁₂+P₁₃,Ξ₁₃＝P₁₁A₁,Ξ₁₄＝-P₁₃,

Ξ₁₅＝A^TP₁₂+P₂₂+h_iU₁,Ξ₁₆＝A^TP₁₃+P₂₃+h_αU₂,Ξ₂₂＝-Q₁-2R₁+Y₁+Y₁^T,Ξ₂₆＝-P₂₃+P₃₃,Ξ₄₆＝-P₃₃,Ξ₅₆＝0,Ξ₆₆＝-U₂，

A_c＝[A 0 A₁ 0 0 0],

且满足h_α＝h_i+1-h_i＝(h_D-h_d)/N，

f.镇定器的设计，在步骤e中定理1的基础上考虑系统的控制器的镇定设计，令控制器的形式为：

u(t)＝Kx(t)(14)

其闭环系统为：

将(14)带入系统(15)，可得

j.在定理1的基础上，给出镇定器的存在性条件-定理2，用A+BK代替A，并在式(2)、(3)两端左乘右乘diag{X,X,X,X,X,X,X,X}及其转置，其中令定义即XP₁₁A₁X＝A₁X,可得

其中

已知对于任意不等式J>0，不等式(21)成立：

由于J>0，对任意矩阵X有

(X-J)J^-1(X-J)>0

对于任意给定的ε

(ε^-1X-J)(ε^-2J)^-1(ε^-1X-J)

＝XJ^-1X-2εX+ε²J>0

即：

XJ^-1X>2εX-ε²J (22)

由式(19)～(22)，应用Schur补引理可得式(17)、(18)；

定理2对于给定标量0<h_d<h_D,0≤μ<1和ε，若存在适当维数的矩阵L＝L^T>0，若存在正定矩阵及以及任意合适维数的矩阵使下面的LMI成立：

Ξ₁₃＝A₁X,

Ξ₃₅＝0,Ξ₃₆＝0,

Ξ₅₆＝0,

且满足h_α＝h_i+1-h_i＝(h_D-h_d)/N，

那么是渐近稳定的且控制反馈增益为：K＝VX^-1。

2.根据权利要求1所述的基于凸组合法的时变时滞系统的反馈控制器设计方法，其特征在于：由于式(18)～(20)中存在非线性项XJ^-1X，无法利用凸优化算法求解控制器增益，因此采用线性化处理方法对非线性项进行处理。