[发明专利]非对称制造商与竞争回收商在竞争回收模式下的定价方法

权利要求书

1.一种非对称制造商与竞争回收商在竞争回收模式下的定价方法，其特征在于：所述非对称制造商指的是规模大小不相同的第一制造商和第二制造商，其中第一制造商的市场容量α₁大于第二制造商的市场容量α₂，竞争回收商指的是相互之间存在竞争关系的第一回收商和第二回收商，所述定价方法包括如下步骤：

1)建立制造商j的市场需求函数：假设市场对产品的需求为线性函数，则制造商j的市场需求函数为：

$d_j^k={\mathrm{\α}}_j-p_j^k+{\mathrm{\βp}}_{3-j}^k,j=1,2---\left(1\right)$

式中，j表示制造商，j＝1是表示制造商j为第一制造商，j＝2是表示制造商j为第二制造商，k表示回收模式，其中k＝acs时表示回收模式为第一回收商和第二回收商相互竞争的竞争回收模式，α_j表示制造商j的市场容量大小，α_j>0；β表示市场需求的弹性系数，即相应制造商产品的可替代程度，0≤β<1；

则在竞争回收模式下，第一制造商的市场需求函数为：

$d_1^{acs}={\mathrm{\&alpha;}}_1-p_1^{acs}+{\mathrm{\&beta;p}}_2^{acs}---\left(2\right)$

式中，α₁表示第一制造商的市场容量大小，表示第一制造商在竞争回收模式下的销售价格，表示第二制造商在竞争回收模式下的销售价格；

第二制造商的市场需求函数为：

$d_2^{acs}={\mathrm{\&alpha;}}_2-p_2^{acs}+{\mathrm{\&beta;p}}_1^{acs}---\left(3\right)$

式中，α₂表示第二制造商的市场容量大小；

2)建立在第一回收商和第二回收商回收成本消耗与规模经济因素均相同的情况下第一制造商和第二制造商的最佳利润函数：

由于第一制造商和第二制造商为非对称制造商，第一制造商的市场容量α₁和第二制造商的市场容量α₂不相同，假设第一回收商的回收成本η_A和第二回收商的回收成本η_B消耗相同，即η_A＝η_B＝η，同时假设第一回收商的规模经济因素θ_A和第二回收商的规模经济因素θ_B相同，即θ_A＝θ_B＝θ，则可以得出第一制造商的最佳利润函数为：

$\underset{p_1^{acs}}{\max }{\mathrm{\&Pi;}}_1^{acs}=(p_1^{acs}-c_m+\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)-t_1^{acs}\mathrm{\&tau;})({\mathrm{\&alpha;}}_1-p_1^{acs}+{\mathrm{\&beta;p}}_2^{acs})---\left(4\right)$

第二制造商的最佳利润函数为：

$\underset{p_2^{acs}}{max}{\mathrm{\&Pi;}}_2^{acs}=(p_2^{acs}-c_m+\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)-t_2^{acs}\mathrm{\&tau;})({\mathrm{\&alpha;}}_2-p_2^{acs}+{\mathrm{\&beta;p}}_1^{acs})---\left(5\right)$

式中，c_m表示制造商制造新产品成本，c_r表示制造商制造再制品成本，其中c_r<c_m，σ表示废旧品再制造率，为第一回收商回收每单位废旧品向第一制造商和第二制造商收取的回收费用，为第一回收商回收每单位废旧品向第一制造商和第二制造商收取的回收费用，τ为废旧品的回收率，且0<τ≤1；

3)建立回收商的回收量函数：

在竞争回收模式下，由于第一回收商和第二回收商分别与第一制造商和第二制造商签订回收协议，回收商用i表示，i＝A时表示第一回收商，i＝B时表示第二回收商，因此，第一回收商的回收量可表示为：

${\mathrm{\&omega;}}_A^{acs}(t_A^{acs},t_B^{acs})=\mathrm{\&tau;}\&CenterDot;d_1^{acs}(p_1^{acs},p_2^{acs})---\left(6\right)$

第二回收商的回收量可表示为：

${\mathrm{\&omega;}}_B^{acs}(t_A^{acs},t_B^{acs})=\mathrm{\&tau;}\&CenterDot;d_2^{acs}(p_1^{acs},p_2^{acs})---\left(7\right)$

4)根据回收商的回收量函数，建立回收商的最佳利润函数：

由于回收费用的大小与产品市场规模经济、回收率有关，因此，根据回收成本公式可以得出在第一回收商的最佳利润函数为：

$\underset{t_A^{acs}}{\max }{\mathrm{\&Pi;}}^{acs}=(t_A^{acs}+r)\&CenterDot;{\mathrm{\&omega;}}^{acs}\left(t_A^{acs}\right)-\&lsqb;\mathrm{\&eta;}\&CenterDot;{\mathrm{\&omega;}}^{acs}\left(t_A^{acs}\right)-\mathrm{\&theta;}\&CenterDot;{\left({\mathrm{\&omega;}}^{acs}\right(t_A^{acs}\left)\right)}^2\&rsqb;---\left(8\right)$

式中，η表示在不受规模经济影响下，回收商回收单位废旧品所需消耗的费用；θ表示规模经济因素；

同时，第二回收商的最佳利润函数为：

$\underset{t_B^{acs}}{\max }{\mathrm{\&Pi;}}^{acs}=(t_B^{acs}+r)\&CenterDot;{\mathrm{\&omega;}}^{acs}\left(t_B^{acs}\right)-\&lsqb;\mathrm{\&eta;}\&CenterDot;{\mathrm{\&omega;}}^{acs}\left(t_B^{acs}\right)-\mathrm{\&theta;}\&CenterDot;{\left({\mathrm{\&omega;}}^{acs}\right(t_B^{acs}\left)\right)}^2\&rsqb;---\left(9\right)$

5)使用逆向归纳法对制造商j与回收商i的最优利润函数分别进行求解：

在阶段二的博弈中，制造商根据制造商之间的竞争制定销售价格定价策略，首先第一制造商能根据给定一组回收商向制造商收取的回收费用求解出使其利润达到最大的销售价格然后对第一制造商的利润函数关于决策变量求一阶导数，并令其一阶导数为0，即

$\frac{\&part;{\mathrm{\&Pi;}}_1^{acs}}{\&part;p_1^{acs}}=\mathrm{\&alpha;}-p_1^{acs}+{\mathrm{\&beta;p}}_2^{acs}-(p_1^{acs}-c_m+\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)-t_A^{acs}\mathrm{\&tau;})=0---\left(10\right)$

对该式求解可得第一制造商利润最优时的销售价格对于第二制造商任意销售价格第一制造商的销售价格决策最优的反应函数是

$p_1^{acs}\left(p_2^{acs}\right)=\frac{\mathrm{\&alpha;}+c_m-\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)+{\mathrm{\&beta;p}}_2^{acs}+t_A^{acs}\mathrm{\&tau;}}{2}---\left(11\right)$

同理，第二制造商根据给定一组回收商向制造商收取的回收费用求解出使其利润达到最大的销售价格对第二制造商的利润函数关于决策变量求一阶导数，并令其一阶导数为0，即

$\frac{\&part;{\mathrm{\&Pi;}}_2^{acs}}{\&part;p_2^{acs}}=\mathrm{\&alpha;}-p_2^{acs}+{\mathrm{\&beta;p}}_1^{acs}-(p_2^{acs}-c_m+\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)-t_B^{acs}\mathrm{\&tau;})=0---\left(12\right)$

求解可得第二制造商利润最优时的销售价格对于第一制造商的任意销售价格第二制造商的销售价格决策最优的反应函数是

$p_2^{acs}\left(p_1^{acs}\right)=\frac{\mathrm{\&alpha;}+c_m-\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)+{\mathrm{\&beta;p}}_1^{acs}+t_B^{acs}\mathrm{\&tau;})}{2}---\left(13\right)$

将第一制造商和第二制造商决策优化的反应函数联立，即联立公式(11)和公式(13)，求得制造商销售价格的Nash均衡解为：

$\begin{array}{c}{p}_j^{*acs}=\frac{1}{2({\mathrm{\&beta;}}^2-1)(\mathrm{\&beta;}+2)(2-\mathrm{\&beta;}+2(\mathrm{\&beta;}-1){\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2)}\&CenterDot;\left(\right({\mathrm{\&beta;}}^2-2)(\mathrm{\&beta;}-2)(c_m-\\ \mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)-(r-\mathrm{\&eta;})\mathrm{\&tau;})+(6-3{\mathrm{\&beta;}}^2+(\mathrm{\&beta;}-1)(5\mathrm{\&beta;}+7){\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2){\mathrm{\&alpha;}}_j-\\ (5\mathrm{\&beta;}-2{\mathrm{\&beta;}}^3+(\mathrm{\&beta;}-1\left)\right(1+(4\mathrm{\&beta;}+7)\mathrm{\&beta;}\left){\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2\right){\mathrm{\&alpha;}}_{3-j})\end{array}---\left(14\right)$

在阶段一的博弈中，回收商根据回收的废旧品设置回收费用，第一回收商的回收量分别为：

${\mathrm{\&omega;}}_A^{acs}=\mathrm{\&tau;}\&CenterDot;d_1^{acs}(p_1^{acs},p_2^{acs})=\mathrm{\&tau;}\&CenterDot;(\mathrm{\&alpha;}-p_1^{acs}+{\mathrm{\&beta;p}}_2^{acs})---\left(15\right)$

第二回收商的回收量为：

${\mathrm{\&omega;}}_B^{acs}=\mathrm{\&tau;}\&CenterDot;d_2^{acs}(p_1^{acs},p_2^{acs})=\mathrm{\&tau;}\&CenterDot;(\mathrm{\&alpha;}-p_2^{acs}+{\mathrm{\&beta;p}}_1^{acs})---\left(16\right)$

将公式(14)分别代入公式(15)和公式(16)，得到第一回收商的回收量为：

${\mathrm{\&omega;}}_A^{acs}=\mathrm{\&tau;}\&CenterDot;(\mathrm{\&alpha;}+\frac{(\mathrm{\&beta;}-1)(2+\mathrm{\&beta;})(\mathrm{\&alpha;}+c_m-\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r\left)\right)+({\mathrm{\&beta;}}^2-2)t_A^{acs}\mathrm{\&tau;}+{\mathrm{\&beta;t}}_B^{acs}\mathrm{\&tau;}}{4-{\mathrm{\&beta;}}^2})---\left(17\right)$

第二回收商的回收量为：

${\mathrm{\&omega;}}_B^{acs}=\mathrm{\&tau;}\&CenterDot;(\mathrm{\&alpha;}+\frac{(\mathrm{\&beta;}-1)(2+\mathrm{\&beta;})(\mathrm{\&alpha;}+c_m-\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r\left)\right)+{\mathrm{\&beta;t}}_A^{acs}\mathrm{\&tau;}+({\mathrm{\&beta;}}^2-2)t_B^{acs}\mathrm{\&tau;}}{4-{\mathrm{\&beta;}}^2})---\left(18\right)$

对于公式(17)和公式(18)分别关于与求导，可得：

$\frac{\&part;{\mathrm{\&omega;}}_A^{acs}}{\&part;t_A^{acs}}=\frac{\&part;{\mathrm{\&omega;}}_B^{acs}}{\&part;t_B^{acs}}=\frac{({\mathrm{\&beta;}}^2-2){\mathrm{\&tau;}}^2}{4-{\mathrm{\&beta;}}^2}---\left(19\right)$

第一回收商总能根据第二回收商的回收费用求解出使其利润到达最大的销售价格对第一回收商的利润函数数关于决策变量求一阶导数，并令其一阶导数为0，即可求得第一回收商利润最优时的回收费用

$\frac{\&part;{\mathrm{\&Pi;}}_A^{acs}}{\&part;t_A^{acs}}={\mathrm{\&omega;}}_A^{acs}+(t_A^{acs}+r)\frac{\&part;{\mathrm{\&omega;}}_A^{acs}}{\&part;t_A^{acs}}-\mathrm{\&eta;}\frac{\&part;{\mathrm{\&omega;}}_A^{acs}}{\&part;t_A^{acs}}+2{\mathrm{\&theta;\&omega;}}_A^{acs}\frac{\&part;{\mathrm{\&omega;}}_A^{acs}}{\&part;t_A^{acs}}=0---\left(20\right)$

将公式(17)和公式(19)代入公式(20)中，简化整理可得第一回收商的回收费用决策优化的反应函数：

$\begin{array}{c}{t}_A^{acs}\left(t_B^{acs}\right)=\frac{1}{2\mathrm{\&tau;}(4-{\mathrm{\&beta;}}^2)({\mathrm{\&beta;}}^2-2)+2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^3{({\mathrm{\&beta;}}^2-2)}^2}\&CenterDot;(-2(\mathrm{\&beta;}+2)\left(\right(4-{\mathrm{\&beta;}}^2+\\ 2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2({\mathrm{\&beta;}}^2-2)\left)(\mathrm{\&alpha;}+(c_m-\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)\right)(\mathrm{\&beta;}-1))+(2-\mathrm{\&beta;})(r-\mathrm{\&eta;})\&CenterDot;\\ ({\mathrm{\&beta;}}^2-2)\mathrm{\&tau;})-((4-{\mathrm{\&beta;}}^2)\mathrm{\&beta;}\mathrm{\&tau;}+2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^3\mathrm{\&beta;}({\mathrm{\&beta;}}^2-2)\left)t_B^{acs}\right))\end{array}---\left(21\right)$

同理，第二回收商也总能根据给定的第一回收商的回收费用求解出使其利润达到最大的销售价格第二回收商的利润函数关于决策变量求一阶导数，令其一阶导数为0时，求解可得制造商利润最优时的销售价格：

$\frac{\&part;{\mathrm{\&Pi;}}_B^{acs}}{\&part;t_B^{acs}}={\mathrm{\&omega;}}_B^{acs}+(t_B^{acs}+r)\frac{\&part;{\mathrm{\&omega;}}_B^{acs}}{\&part;t_B^{acs}}-\mathrm{\&eta;}\frac{\&part;{\mathrm{\&omega;}}_B^{acs}}{\&part;t_B^{acs}}+2{\mathrm{\&theta;\&omega;}}_B^{acs}\frac{\&part;{\mathrm{\&omega;}}_B^{acs}}{\&part;t_B^{acs}}=0---\left(22\right)$

将公式(18)和公式(19)代入公式(22)中，整理简化可得第二回收商的回收费用决策优化的反应函数：

$\begin{array}{c}{t}_B^{acs}\left(t_A^{acs}\right)=\frac{1}{2\mathrm{\&tau;}(4-{\mathrm{\&beta;}}^2)({\mathrm{\&beta;}}^2-2)+2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^3{({\mathrm{\&beta;}}^2-2)}^2}\&CenterDot;(-2(\mathrm{\&beta;}+2)\left(\right(4-{\mathrm{\&beta;}}^2+\\ 2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2({\mathrm{\&beta;}}^2-2)\left)(\mathrm{\&alpha;}+(c_m-\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)\right)(\mathrm{\&beta;}-1))+(2-\mathrm{\&beta;})(r-\mathrm{\&eta;})\&CenterDot;\\ ({\mathrm{\&beta;}}^2-2)\mathrm{\&tau;})-((4-{\mathrm{\&beta;}}^2)\mathrm{\&beta;}\mathrm{\&tau;}+2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^3\mathrm{\&beta;}({\mathrm{\&beta;}}^2-2)\left)t_A^{acs}\right))\end{array}---\left(23\right)$

将第一回收商回收费用决策优化的反应函数和第二回收商的回收费用决策优化的反应函数联立，即将公式(21)和公式(23)联立，得到第一回收商和第二回收商向制造商j收取的均衡的回收费用的Nash均衡解为：

$\begin{array}{c}{t}_j^{*acs}=\frac{1}{2(\mathrm{\&beta;}-1)\mathrm{\&tau;}(2-\mathrm{\&beta;}+2(\mathrm{\&beta;}-1){\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2)}\&CenterDot;\left(\right(1-{\mathrm{\&beta;}}^2)\left(\right(2-\mathrm{\&beta;})(r-\mathrm{\&eta;})\mathrm{\&tau;}+(c_m-\\ \mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)\left)(\mathrm{\&beta;}-2-4(\mathrm{\&beta;}-1){\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2\right))+\mathrm{\&beta;}-2-(\mathrm{\&beta;}-1)(\mathrm{\&beta;}+3){\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2){\mathrm{\&alpha;}}_j+\\ \left(\right(\mathrm{\&beta;}-2)\mathrm{\&beta;}-(\mathrm{\&beta;}-1\left)\right(3\mathrm{\&beta;}+1\left){\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2\right){\mathrm{\&alpha;}}_{3-j})\end{array}---\left(24\right)$

将求解得到的第一回收商和第二回收商的回收费用的Nash均衡解与分别代入公式(14)中，可以得到第一制造商和第二制造商的均衡销售价格为：

$\begin{array}{c}{p}_1^{*c}=p_2^{*c}=\frac{1}{-8+6\mathrm{\&beta;}+3{\mathrm{\&beta;}}^2-2{\mathrm{\&beta;}}^3+2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2(\mathrm{\&beta;}-1)({\mathrm{\&beta;}}^2-2)}\&CenterDot;\left(\right({\mathrm{\&beta;}}^2-2)(c_m-\\ \mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)-(r-\mathrm{\&eta;})\mathrm{\&tau;})+2\mathrm{\&alpha;}({\mathrm{\&beta;}}^2-3-{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2({\mathrm{\&beta;}}^2-2)))\end{array}---\left(25\right)$

将公式(24)和公式(25)代入公式(4)和公式(5)中，简化整理得到第一制造商和第二制造商的最优利润与分别为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&Pi;}}_j^{*acs}=\frac{1}{4{({\mathrm{\&beta;}}^2-4-2({\mathrm{\&beta;}}^2+\mathrm{\&beta;}-2\left){\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2\right)}^2}\&CenterDot;\left(\right({\mathrm{\&beta;}}^2+\mathrm{\&beta;}-2)(c_m-\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)-\\ (r-\mathrm{\&eta;})\mathrm{\&tau;})+(2+(\mathrm{\&beta;}-1){\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2){\mathrm{\&alpha;}}_j-(\mathrm{\&beta;}-(\mathrm{\&beta;}-1){\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2){\mathrm{\&alpha;}}_{3-j}{)}^2\end{array}---\left(26\right)$

将公式(15)、公式(16)、公式(24)和公式(25)代入公式(8)中，整理化简后得到回收商i的最优利润与分别为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&Pi;}}^{*acs}=\frac{1}{4({\mathrm{\&beta;}}^2-1)(\mathrm{\&beta;}+2)(2-\mathrm{\&beta;}+2(\mathrm{\&beta;}-1){\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2)}\&CenterDot;\left(2\right(1-\mathrm{\&beta;})({\mathrm{\&beta;}}^2-1)(\mathrm{\&beta;}+2)(c_m-\\ \mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)-(r-\mathrm{\&eta;})\mathrm{\&tau;}{)}^2+(-2-{\mathrm{\&beta;}}^2+{(\mathrm{\&beta;}-1)}^2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2)({\mathrm{\&alpha;}}_1^2+{\mathrm{\&alpha;}}_2^2)-2\left(\right({\mathrm{\&beta;}}^2-\\ 1)\&CenterDot;(\mathrm{\&beta;}+2)(c_m-\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)-(r-\mathrm{\&eta;})\mathrm{\&tau;})+(3\mathrm{\&beta;}+{(\mathrm{\&beta;}-1)}^2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2){\mathrm{\&alpha;}}_1{\mathrm{\&alpha;}}_2\left)\right)\end{array}---\left(27\right)$