[发明专利]以随机位移响应方差为目标的结构拓扑优化设计方法

权利要求书

1.一种以随机位移响应方差为目标的结构拓扑优化设计方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤一、对结构初始几何模型进行有限元网格划分，获得有限元模型；在拟施加激励位置外建一大质量点，大质量点与结构上承受加速度激励的节点之间通过刚性单元连接；

步骤二、在大质量点处施加与加速度等效的力载荷；随机载荷采用限带白噪声激励bp(t)，即在整个激励频段上拥有完全相同的功率谱密度值；其中，p(t)为d维随机激励向量，其功率谱密度矩阵为S_p(ω)，d为载荷中力的个数，ω为激励圆频率；b为n×d的转换矩阵，用于将d维随机激励向量转换为n维激励分布向量，n为包含大质量节点自由度的结构总自由度数；载荷激励频段为[ω_a,ω_b]，ω_b、ω_a分别表示激励圆频率上下限；由于功率谱密度矩阵S_p(ω)为Hermitian矩阵，因此存在下式分解

其中，Q为功率谱密度矩阵S_p(ω)的秩，γ_q为d维列向量，表示第q个虚拟简谐激励，(γ_q)^*为其共轭矩阵；1≤q≤Q，上标T表示向量或矩阵的转置；

采用大质量法实现加速度载荷的施加，此时的动力学平衡方程按分块矩阵形式表示为

其中，M_ss、M_sb、M_bs、M_bb为结构整体质量矩阵M按结构基础节点和自由节点分块后得到的矩阵，其中下标s表示自由节点自由度，下标b表示基础节点自由度；同理C_ss、C_sb、C_bs、C_bb为结构整体阻尼矩阵C分块后得到的矩阵，K_ss、K_sb、K_bs、K_bb为结构整体刚度矩阵K分块后得到的矩阵，同时M_L为对应于基础节点质量矩阵M_bb的大质量矩阵；为加速度幅值向量的分块形式，同理为速度幅值向量的分块形式，x_s、x_b为位移幅值向量x的分块形式；为拟施加的基础加速度载荷向量；

将上述公式中的第二行展开

上式两侧左乘M_L的逆矩阵当质量点的质量很大时，中对角元素趋于零，则基础激励处实际获得的加速度为：

步骤三、设置拓扑设计变量η_h初始值，优化迭代时其值在0-1之间变化，h是正整数，表示设计域单元编号；给定实体材料杨氏模量E和密度ρ；每次迭代后，根据当前设计变量值，更新结构有限元模型中的相应材料属性；为了降低局部模态对拓扑优化过程带来的负面影响，选取多项式插值对单元材料属性进行匹配，分别更新每一个有限元单元在当前迭代步下的杨氏模量E_h和密度ρ_h；

ρ_h＝η_hρ (6)

步骤四、从模态分析中提取每个单元的刚度矩阵K_h、质量矩阵M_h，以及结构的前l阶固有频率ω_i和模态振型矩阵1≤i≤l；由各阶模态振型向量组成；采用瑞利阻尼时，结构的前l阶模态的阻尼比ζ_i按下式进行计算：

式中，α与β为瑞利阻尼系数；

采用虚拟激励法计算结构指定自由度r的随机位移响应功率谱密度

式中，u表示位移，(g_q(t))_r为结构指定自由度r在第q个虚拟简谐激励γ_q下的位移响应，||(g_q(t))_r||表示复数(g_q(t))_r的模，即位移响应幅值；(g_q(t))_r采用模态叠加的方法进行计算，其计算公式为

由于采用大质量法进行基础加速度激励时，大质量点激励方向的自由度是放开的，模态分析时会存在刚体模态；在进行模态固有频率和振型提取时需过滤掉刚体模态信息，模态叠加后所得位移为结构指定自由度r相对于基础大质量点的位移响应；式中a为n维列向量，除第r项为1外其余项均为0，T表示向量转置；为各阶模态振型向量，1≤i≤l，l为进行模态叠加时提取的模态阶数；b为n×d转换矩阵，用于将d维随机激励向量转换为n维激励分布向量，n为包含大质量节点的结构总自由度数；假如p(t)中第k个力施加在第z个自由度上，则b的第k列第z行的元素值是1，k列中其它元素值均为0，1≤k≤d，1≤z≤n；e^jωt表示以自然常数e为底数的指数函数，ω为激励圆频率，j²＝-1；H_i为质量矩阵归一化进行解耦后的第i个单自由度系统的频响函数，计算公式为

其中，ω为激励圆频率，ω_i和ζ_i为第i阶固有频率和模态阻尼比，1≤i≤l，l为进行模态叠加时提取的模态阶数；

步骤五、按固有频率对考虑频段进行细分，得到若干个频率采样点；这些频率采样点的位移响应功率谱的方差值按下式计算

其中，N为频段[ω_a，ω_b]内采样点总数，ω_b、ω_a分别表示激励圆频率上下限，ω_ξ为第ξ个采样点圆频率，1≤ξ≤N；为指定自由度r处所有频率采样点位移响应功率谱的平均值，其计算式为：

显然，位移响应方差值总是正值，其值越小表示指定自由度上的频响曲线越平稳；

步骤六、给定体积分数约束上限V_fU，采用下式计算当前迭代步的结构体积分数V_f；

其中，V_h表示第h个实体材料单元的体积，V₀为初始实体结构体积；

步骤七、以随机位移响应方差最小为目标的结构拓扑优化模型如下

式中，η代表设计变量的集合，η_h为第h个有限单元的设计变量值，其中1≤h≤enum，enum代表设计域单元总数；迭代过程中设计变量η_h值在0-1之间变化，表示实体材料的有无；为避免有限元分析时结构刚度矩阵的奇异，引入设计变量下限η_L；优化目标为结构指定自由度r处随机位移响应方差最小，约束条件为体积约束；

步骤八、求得目标函数和约束条件关于设计变量的灵敏度；选取基于梯度的GCMMA优化算法，采用自编拓扑优化程序CommonOpt.exe进行优化迭代，得到以随机位移位移响应方差为目标的结构拓扑优化设计结果。