[发明专利]一种将线性规划两阶段问题一次性求解的方法

说明书

技术领域

本发明涉及一种将线性规划两阶段问题一次性求解的方法。

背景技术

一些线性规划问题在引进松驰变量化成标准形后，约束条件方程组的系数矩阵并不含有阶数与系数矩阵行数相同的单位矩阵，这样就给单纯形解法的换基迭代带来了困难，大M法与两阶段法就是在这种情况下通过引人人工变量构造人工基获得阶数与系数矩阵行数相同的单位矩阵，以达到运用单纯形法求解原问题的目的。用大M法处理人工变量在手工计算求解时不会碰到麻烦，但使用电子计算机求解时，大M只能用一个机器最大字长的数字表示。如果线性规划问题中增广矩阵中的元素或目标函数的系与这个代表大M的数比较接近，或远远小于这个数字，由计算机计算时有可能使计算结果发生错误，从而使求解的最终结果与原问题真正的最优解不一致。为了克服这个困难，可以将添加人工变量后的线性规划问题分为两个阶段来求解，这种方法就是两阶段法。第一阶段是给原线性规划问题加入人工变量，并构造仅含人工变量的目标函数，得到一个辅助线性规划问题，并得到原问题的一个基本可行解；第二阶段是在第一阶段得到的基本可行解的基础上，除去人工变量，将辅助问题目标函数行的系数换原问题的目标函数系数，作为第二阶段计算的初始表，并求解原线性规划问题。

两阶段法虽然克服了大M法不适合利用计算机求解的缺点，但求解过程需要两个阶段，也就是一个线性规划问题需要进行两次求解，这是计算资源的极大浪费，在一些需要实时提供求解结果，而线性规划问题又特别复杂的情形，这种方法甚至无法使用。

发明内容

鉴于上述问题，本发明针对约束条件方程组的系数矩阵不含阶数与系数矩阵行数相同的单位矩阵的线性规划问题，构造了一个辅助线性规划问题，其约束方程中增加了人工变量，目标函数是原线性规划问题目标函数加上人工变量。辅助线性规划问题可以利用单纯形法由计算机求解，其特点是：若辅助线性规划问题无解，原线性规划问题必然无解；若辅助线性规划问题存在人工变量全为零的最优解，由此最优解就可以确定原线性规划问题的最优解。

本发明的有益效果在于：

1.将两个阶段的线性规划单纯形法一次性实现，缩短了计算机程序及其运算时间；

2.使线性规划，特别是一些复杂的线性规划的在线求解成为可能。

附图说明

图1是将线性规划两阶段问题一次性求解方法的流程图

具体实施方式

对于线性规划问题

min Z＝c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n

其中系数矩阵

中不包含m阶单位矩阵

由于不符合线性规划单纯形法的使用比准，因此不能直接用单纯形法求解，需要构造如下的辅助问题

min Z＝c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n+x_n+1+x_n+2+…x_n+m

构造辅助线性规划问题(2)的目的在于由它的解确定原线性规划问题(1)的解。为此，首先需要确定在辅助线性规划问题(2)存在最优解的情况下，若

是(2)的最优解，则是原线性规划问题(1)的最优解。

事实上，若是(2)的最优解，则满足(2) 的约束方程组，即

因此满足(2)的约束方程组。其次使

Z＝c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n+x_n+1+x_n+2+…x_n+m

达到最小，由此可以断言使Z＝c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n达到最小；否则必有满足 (2)的约束方程组的使达到